Matrice de permutation

Déterminant d'un endomorphisme 45 2.5 Déterminant d'une matrice carrée 46 III Table des matières 2.6 2.7 2.8 2.9 Développement par rapport à une rangée 49 2.6.1 2.6.2 49 53 Cofacteurs et mineurs Comatrice Calcul des déterminants 55 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 55 55 58 59 60 Déterminant d'une matrice triangulaire Manipulation de lignes et de colonnes Cas n = 2, n = 3 Déterminant de Vandermonde Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs Orientation d'un espace vectoriel réel

sur lesquels tout retard a des conséquences sur toute la chaîne, ou des goulots d’étranglement, c’est-à-dire les étapes qui vont limiter la production de tout l’atelier. Nous supposons que les durées d’exécution des tâches sont données par une matrice entière P : m × n, dans laquelle pij ≥ 0 est la durée d’exécution de la tâche Tij ∈ T du lot Jj réalisée sur la machine Mi . LB Une borne inférieure classique pour les problèmes d’atelier, notée Cmax , est égale au maximum de la charge des machines

y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice 5 [ 01414 ] [correction] ¯ Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). On note A = (¯i,j ) ∈ Mn (C). a Former une relation liant det(A) et det A. Exercice 6 [ 01415 ] [correction] ¯ Soit A ∈ Mn (C) telle que t A = A. Montrer que det A ∈ R. Exercice 7 [ 01416 ] [correction] Soit A une matrice antisymétrique d’ordre 2n + 1. Montrer que det A = 0. Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre

structure euclidienne canonique. Soit A et B les deux matrices de nies par : 01 1 1 11 0 1 0 ;1 0 1 A = B 1 1 1 1 C et B = B ;1 0 0 ;1 C @1 1 1 1A @0 1 1 0A 1 1 1 1 0 ;1 0 1 1. Calculer A2 et B 2 . En deduire les valeurs propres de A et de B . 44 ESCP 99 - Oral 2. Determiner les sous-espaces propres des endomorphismes a et b canoniquement associes a A et B . 3. Montrer qu'il existe une base orthonormee de R4 , dans laquelle les matrices associees a a et b sont toutes deux diagonales. 1. Un

des polynômes, la résolution approchée d’équations différentielles. En préambule à tous ces aspects, nous présentons au Chapitre 1 la manière dont les ordinateurs stockent et manipulent les nombres réels, les complexes ainsi que les vecteurs et les matrices. Afin de rendre notre présentation plus concrète, nous adoptons les environnements de programmation MATLAB 1 et Octave. Rappelons qu’Octave est une réimplémentation d’une partie de MATLAB qui inclut en particulier de nombreuses fonctionalités numériques

des entiers de 1 à n, c’est-à-dire n! = – On retiendra les valeurs : 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040. k k=1 – L’entier n! désigne le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments (c’est-à-dire de bijections de cet ensemble sur lui-même). Par exemple les 3! = 6 permutations des lettres du mot abc sont : abc, acb, bac, bca, cab et cba. √ – Pour les grandes valeurs de n, on verra plus tard la formule de Stirling : n! ∼ nn e−n 2πn. La signification de ∼ est

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4 Le groupe Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5 Le groupe des permutations S n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7 Les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1 L’ensemble des nombres rationnels

Classification des EDP . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 A propos des m´thodes de discr´tisation d’EDP . e e 1.2 Analyse num´rique matricielle : motivations et rappels e 1.2.1 Motivation et classification des m´thodes . . . . e 1.2.2 Rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 6 7 7 8 2 Approximation de la solution de l’´quation de la chaleur en e dimension 1 par diff´rences finies e 2.1 Principe de la m´thode : le probl`me aux limites d’ordre

phase20 phase30 phase40 phase50 Yannick Monnier P1 2 P2 5 P3 2 P4 3 P5 3 M4 M2 M6 M5 M4 M1 M6 M5 M1 M6 M3 M5 M1 M6 M5 M4 M7 M1 M3 M5 Cours IMPLANTATION v24w Page 1 3 - Remplir la ½ matrice des chaînons Nombre de colonnes = nombre de lignes = nombre de poste Affecter un poste à chaque case de la diagonale. M2 < > M7 M7 M3 < > M7 M6 M5 M1 < > M5 M4 M3 M2 < > M3 M2 M1 L'intersection entre la ligne ou la colonne

tableau augmenté, de   a si j ∈ [[1, p]] i,j terme général ti,j = . Ces  b si j = p + 1 i présentations simplifiées sont intéressantes pour le traitement informatique d'un système linéaire. Elle conduisent naturellement à l'utilisation de matrices. Solutions dans Rp d'un système linéaire. Si s désigne le système linéaire on note S(s) l'ensemble des solutions. S(s) est un sous-ensemble de Rp . Système linéaire homogène : les bi sont tous nuls. Dans le cas homogène, pour tout couple