Matrice de permutation

e e e a m´thode de relaxation qui rep´sente une g´n´ralisation de la e e e e m´thode de Gauss-Seidel. e 1.1 M´thodes it´ratives: Approche g´n´rale e e e e (1) Les principales m´thodes it´ratives sont bas´es sur une d´composition e e e e de la matrice A du syst`me sous la forme e A=M −N (2) avec M inversible et d’inverse assez facile ` calculer. Le a syst`me (1) s´crit alors e e Mx = Nx + b ou encore x = M −1 N x + M −1 b (4) (3) 2 qui est ` l’origine du sch`ma it´ratif suivant a e e

combinatoire Dans le cadre de l’optimisation combinatoire, en pratique, on aura tout intérêt à définir le voisinage en considérant l’ensemble des modifications élémentaires que l’on peut appliquer à une solution s donnée, par exemple l’ensemble des permutations (si les solutions peuvent s’écrire sous la forme d’une séquence finie d’éléments, comme le cas se présente fréquemment en optimisation combinatoire) Si cet ensemble est trop grand, on pourra toujours le réduire à un sous-ensemble, aléatoirement

$\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$, il existe $A\in M_{n\times p}(R)$ et $b\in R^n$ uniques tels que, si x est le vecteur des coordonnees d'un point $M$ de $\mathcal{F}$, alors $y=Ax+b$ est le vecteur des coordonnees de $f(M)$. En outre, la matrice $A$ est la matrice de la partie lineaire de $f$ dans les bases $v_1, \ldots, v_p$ et $w_1, \ldots, w_n$ et $b$ est le vecteur des coordonnees de $f(P_0)$. - Exemple, ou l'on se donne, numeriquement dans R^2, l'image $P',Q',R'$ d'un triangle $P,Q,R$

e e La matrice K × J suivante   P (b1 | a1 ) . . . P (bJ | a1 )   . . ... . . Π=  . . P (b1 | aK ) . . . P (bJ | aK ) 35 36 ´ CHAPITRE 4. CANAUX DISCRETS SANS MEMOIRE est appel´e matrice stochastique du canal. Nous parlerons d’un canal (X, Y, Π). e Exemple : Le canal binaire sym´trique de probabilit´ de transition p repr´sent´ par le e e e e diagramme 1−p t 0 ˆˆˆ $$t 0 ˆˆˆ $$$ $ ˆˆˆ $$$ p ˆˆˆˆ $$$ ˆ$$$ ˆ $$$ ˆˆˆˆ $$ ˆˆ p $ ˆˆ $$ ˆˆˆ $$ $ 1−p ˆˆˆt $$ $ t 1 1 a pour matrice stochastique

compétitivité actuelle et potentielle sur le marché : compétences technologiques et industrielles, coûts de production, ressources financières, notoriété et image auprès des clients potentiels, réseau de distribution et force de vente, etc. C/ LES MATRICES D'ÉVALUATION DES PORTEFEUILLES D'ACTIVITÉS 1/ Le modèle du Boston Consulting Group (BCG) a/ Présentation du modèle Le modèle du BCG évalue l'intérêt des domaines d'activités d'un groupe sur la base de deux critères objectifs : le taux de croissance

éléments ⇒ Alors f linéaire correspond à une matrice G (génératrice) et f(m)=m G : !y0 % y1  yn-1 " = !x 0 & % ! g0;0 #  xk-1 " #  & #g % k-1;0 g0;1     gk-1;1 g0;n-1 " $  $ gk-1;n-1 $ & 84 Exemple : la parité !x 0 % x1 x 2 (x 0 + x 1 + x 2mod2 )" = !x 0 & % x1 !1 0 0 1 " x 2 " #0 1 0 1 $ &# $ #0 0 1 1 $ % & Temps de calcul $  Pour tout code linéaire C(n,k), il existe une matrice normalisée G = [ Ik | T ] qui engendre le

dimension n, muni d’une base quelconque ; ii) tout élément de cet espace est transformé linéairement, par chaque opération du groupe, en un élément du même espace. Alors, à chaque opération de symétrie peut être associée la matrice de cette transformation linéaire, qui est une matrice carrée n × n dont l’expression dépend de la base. L’espace vectoriel constitue un espace de représentations, cette base est la base de la représentation et n est la dimension de la représentation. 3.2.2. Un premier espace

puis dans quel sens), puis n↓4 choix pour les indices i, j, k, i′, j′, k′. 4(d) Finalement, si card ({i, j, k} ∩ {i′, j′, k′}) = 3, alors Xijk = Xi′j′k′ et leur produit est d’espérance p3. Il y a 6 choix possibles pour que (i′, j′, k′) soit une permutation de (i, j, k), et n↓3 choix possibles pour les indices i, j, k. La somme de ces contributions est bien la formule (3). 2.2 Pour calculer la variance de I(H,Gn), on introduit la variable aléatoireX(H, i1, . . . , ik), qui vaut 1 si l’injection j ∈

vectoriel. Montrer que n est pair et qu'il existe une base (e1; : : :; en) ; (n = 2p) du R-espace vectoriel E tel que : 8j 2 Np ; u(ej ) = ej +p . Determiner la dimension de E sur C . 0 ?1 0 1 1 0 ?1 1 0 1 11. Soient A = @ 1 ?1 0 A et B = @ 0 ?1 1 A deux matrice reelles. 0 1 ?1 1 0 ?1 Soit V = Vect(A; B ). Montrer que V est un corps isomorphe a C . 12. Soit P 2 K n X ]; deg P = n. Soient a0; : : :; an n + 1 scalaires deux a deux distincts. Montrer que la famille : (P (X + ai)i2Nn est une base de K n X ].

? e e e e −12 Est-elle inf´rieure ou sup´rieure ` 10 ? e e a 9 Solution: p(X = 9) = p(X = 9) = C10 97 3 10 100 9 3 9 97 100 100 39 × 297 5845851 107 −12 = = < 19 = 10 10 × 1009 1019 10 10−9 = 10. 3 100 9 97 = 100 3 Matrices (4 points) Votre neveu, ` qui vous avez demand´ de fabriquer des rallonges t´l´phoniques ` quatre a e ee a broches, a malencontreusement m´lang´ les fils. Il y a envoy´ le premier fil sur le deuxi`me, e e e e le deuxi`me sur le quatri`me, le quatri`me