Homothétie

1 0 . 0 −1 L’espace vectoriel Rn 323 y x y x O x −y Réflexion par rapport à la droite (y = x) La réflexion par rapport à la droite (y = x) est donnée par x y → y x f : R2 −→ R2 , et sa matrice est 0 1 . 1 0 y y x (y = x) x y x O Homothéties L’homothétie de rapport λ centrée à l’origine est : f : R2 −→ R2 , On peut donc écrire f x y = λ 0 0 λ x y x λx → . y λy . Alors la matrice de l’homothétie est : λ 0 0 . λ L’espace vectoriel Rn 324 y λx λy x y x O Remarque La translation

de la contrainte « inscription dans un cercle donné », de construire ce que l’on sait faire, une croix et un hexamier avec pour centre de construction le centre du cercle correspondant. Ceci fait, on se ramène à la figure demandée à l’aide d’une homothétie, ce que l’on sait faire avec les instruments autorisés. √ Olympiades académiques - 2009 71 CORSE Exercice no 1 Enoncé Soit ABC un triangle dont une mesure de l’angle A en degrés est un réel α de ]0 ; 90[. On note a, b et c les longueurs

pour la transformation de Fourier. Soit la fonction x(t) et la transformée de L Laplace X(p) de ce signal, nous écrirons : x (t) ←→ X (p) A.3 Transformée de Laplace 225 a) Linéarité a · x (t) + b · y (t) ←→ a · X (p) + b · Y (p) b) Homothétie x (a · t) ←→ c) Translation x (t − a) ←→ X (p) · e−a·p d) Dérivation d x (t) L ←→ p · X (p) − x (0) dt L L L et x (t) · eb·t ←→ X (p − b) e) Intégration t 0 x (t) · d t ←→ 1 · X (p) p et 1 L · x (t) ←→ t f) Transformée

notamment en modélisation spatiale, les objets fractals et la logique floue ne constituent pas à proprement parler des algorithmes. Les objets fractals (B.MANDELBROT, 1977) sont des objets géométriques qui présentent la propriété de comporter une homothétie interne. L’objet reste semblable quelle que soit l’échelle d’observation. P.FRANKHAUSER13 a obtenu des résultats intéressants en reconstituant des quartiers urbains à partir de ce mode de construction géométrique - tiré de l’ouvrage, Fig.26.

proportionnalité (fonction linéaire). Mesures (longueur, masse, durée, vitesse, aire, volume) en relation avec les sciences expérimentales. Éléments simples de géométrie plane (droite, angles, figures classiques et propriétés principales, symétries, homothéties, rotations) et de géométrie dans l’espace (quelques solides usuels et propriétés principales). Éléments sur l’utilisation des calculatrices électroniques et d’outils informatiques simples (tableurs). Représentation et interprétation simple de données

Laplace que pour la transformation de Fourier. Soit la fonction x(t) et la transformée de L Laplace X(p) de ce signal, nous écrirons : x (t) ←→ X (p) A.3 Transformée de Laplace 225 a) Linéarité L a · x (t) + b · y (t) ←→ a · X (p) + b · Y (p) b) Homothétie L x (a · t) ←→   ¡ 1 · X p/a |a| c) Translation L x (t − a) ←→ X (p) · e−a·p et L x (t) · eb·t ←→ X (p − b) d) Dérivation d x (t) L ←→ p · X (p) − x (0) dt e) Intégration t 0 L x (t) · d t ←→ 1 · X (p) p et 1 L · x (t) ←→ t +∞ p

12.9.1 Commandes \rput et \uput . . . . . . . . 12.9.1.1 Commande \rput . . . . . . . . 12.9.1.2 Commande \uput . . . . . . . . 12.9.2 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9.3 Rotation et symétrie centrale . . . . . . . 12.9.4 Homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.10Décorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.10.1 Encadrements . . . . . . . . . . . . . . . . 12.10.2 On épouse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.11Utilisation de \multido . . . . . .

beau pays, régis par le même système de régulation de marché : le quantum et le hors quantum, alliant la défense du revenu des petits producteurs et le libre développement des exploitations les plus productives ? Pas grand monde… Et pourtant cette homothétie a durablement marqué la manière d’ appréhender la gestion du marché des vins qualifiés de consommation courante jusqu’ aux années 70, puis de table avec la mise en place de l’ OCM viti-vinicole. On gérait des grands flux, des grands équilibres entre

zone de travail : Ouvrez la palette Texte et augmentez la hauteur entre 200 et 250%. Faites ensuite une rotation à 180° : Filtre Rectangulaire en Polaire (après pixellisation du texte) : En jouant sur la taille de la zone de texte, par Homothétie, vous arriverez à l'aplatir suffisamment pour entourer un cylindre. Combinaison des effets vus précédemment : Partie 1 : tests sur motifs Partie 2 : applications graphiques Partie 3 : applications sur du texte UTILISER LA COUCHE ALPHA

barycentriques Nous pouvons encore repérer les positions de M1 et M2 par rapport à leur barycentre (doc. 3) : ∗ r 1 = GM 1 = r 1 – r G ∗ r 2 = GM 2 = r 2 – r G et et constater qu’elles se déduisent de leur position relative par de simples homothéties : – m2 m1 ∗ ∗ -r et r 2 = ------------------ . -r r 1 = -----------------m1 + m2 m1 + m2 ∗ ∗ Le barycentre G étant défini par m 1 r 1 + m 2 r 2 = 0 : Les points matériels M1 et M2 peuvent être décrits par leur position absolue :