TD14 : COMPLÉMENTS SUR LA DÉRIVATION
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Objectifs
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du
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TD
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:
• Justifier la dérivabilité d’une fonction en un point
• Calculer la dérivée d’une fo, d’une composée, de la réciproque en cas d’existence
• Utiliser les « grands » théorèmes de dérivation (Rolle, AF, IAF, prolongemt dérivée)
• Manipuler la fonction arc tangente
Exercice no 1
Soit f la fonction définie sur ]− 1; 0[∪]0; 1[ par f(x) =
|x|
x ln (1− |x|)
1) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0.
2) Prouver que f …afficher plus de contenu…

BILAN :

f est continue sur [0; 2[ f est de classe C 1 sur ]0; 2[ lim x→0 f ′(x) = 0
.
D’après le théorème du prolongement de la dérivée, nous pouvons conclure que f est de classe C 1 sur [0; 2[ (donc dérivable en 0), et que f ′(0) = 0
�
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Calculons
::: la ::::: limite ::: en ::
2
:: de ::: f ′
:
:
Pour tout x ∈]0; 2[, f ′(x) =
√
2x− x2 + x(1− x)√
2x− x2
Or, lim x→2 √
2x− x2 = 0 et …afficher plus de contenu…

Par quotient, lim x→1− f(x)− f(1) x− 1
=
−∞.
Donc, f n’est pas dérivable en 1.
• Soit la fonction h : x 7→ (x− ⌊x⌋) (x− ⌊x⌋ − 1).
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Ensemble
::: de ::::::::: définition ::: de : h : La fonction h est clairement définie sur R
�
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Ensemble
::: de ::::::::: dérivation ::: de :: h : Soit k ∈ Z.
Pour tout x ∈ [k; k + 1[, on a h(x) = (x− k)(x− k − 1)
Ainsi, h est dérivable sur [k; k+1[ puisque c’est le produit de fonctions dérivables sur [k; k + 1[.
Et pour tout x ∈ [k; k+1[, on a h′(x) = 1× (x−k−1)+(x−k)×1 = 2x−2k−1
On en déduit donc que h est dérivable sur tout intervalle du type [k; k + 1[, où k ∈ Z
�
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Etude
::: de :: la ::::::::::: dérivabilité ::