Extremum

change pas la fonction à maximiser, mais permet d’imposer à la solution de respecter cette contrainte. Les conditions du premier ordre définissent encore les conditions pour obtenir un extremum (maximum ou minimum), mais cette fois contraint : (1) ∂L/∂q1 = U1 - λp1 = 0 (conditions du premier ordre pour un extremum) (2) ∂L/∂q2 = U2 - λp2 = 0 (3) ∂L/∂λ = R - p1q1 - p2q2 = 0 : la troisième condition ne fait que répéter la contrainte égalité. On en déduit : U1/p1 = U2/p2 = λ et U2/U1 = p2/p1 D'où : 3

Calculer en fonction de N en électrons dans la bande de conduction Soient µn et µp les mobilités respectives des électrons et des trous. On pose inférieur à 1 et peut être considéré comme prati 2. Exprimer la conductivité 3. Montrer que σ présente un extremum type est alors le semi-conducteur pour σe en fonction de n 4. Examiner le cas particulier de l’arséniure de gallium pour lequel, à la température ambiante α=1/20, ni =2.3*10 5. Déterminer la valeur σ que µni~ µn. Vérifier ce résultat dans le cas

maximum (local) en α si f admet un maximum absolu sur un voisinage de α. On pr´cise strict si l’in´galit´ est stricte (pour x = α) et on dit minimum si e e e on renverse les in´galit´. Enfin, on dit extremum pour minimum ou maximum. e e 22 3.8 Proposition Si f est diff´rentiable en α et admet un extremum en α, alors f (α) = 0. e 3.9 Rappel Une forme quadratique H : Rn → R est positive (resp. d´finie positive) et e on ´crit H ≥ 0 (resp. H > 0)) si ses valeurs propres sont ≥ 0 (resp. >

décroissante sur I . 2° Extremum local On appelle extremum un minimum ou un maximum. Soit a un élément de l’ensemble de définition de f. On dit que f admet un maximum local en a si on peut trouver un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x de I, f(x) ≤ f(a) . On dit que f admet un minimum local en a si on peut trouver un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x de I, f(x) ≥ f(a) . y f(a) On peut "détecter" facilement un extremum local : Si f admet un extremum en a et si f est

équivalent à des parties par mille en masse. Il est à noter que les fonds marins (< 3 000 m) sont à une température inférieures à 4°C (environ 2°C ou moins) car l'eau salée voit son maximum de densité à une température inférieure, et surtout cet extremum s'estompe en un plateau constant avant la congélation. Le mouvement des masses océaniques profondes est dominé par la variation de leur salinité. Elles proviennent principalement de la saumure issue de la formation de la banquise (congélation de

minium relatif en a s’il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que f(x)≥ f(a) ;V x є I -On dit que f admet un maximum relatif en b s’il existe un intervalle ouvert I contenant b tel que f(x) ≤ f(b) ;V x є I -On dit que f admet un extrémum relatif en a si elle admet en a un minimum ou un maximum. Consigne On considère les fonctions suivantes f(x) =>? >? et g(x) = x2 +2x -3 1) Détermine les ensembles de définition de f et g. 2) Démontre que f est majorée par 1 sur IR. 3) Démontre

Interm´diaires . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.3 D´riv´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le Th´or`me des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 M´thodes de r´solution

Il est essentiel de remarquer que la recherche d’ un extremum local d’ une fonction n’ est pas priori li´e ` l’ ´tude de ses d´riv´es. La fonction peut ne e a e e e pas ˆtre d´rivable en cet extremum. Une fonction admet un extremum en un e e piont si ses valeurs, au voisinage de ce point, sont toutes sup´rieures, ou toutes e inf´rieures ` la valeur en ce point. Cependant si la fonction est de classe C 2 , e a rechercher un extremum dans un ensemble ouvert revient ` ´tudier le coma e

donc déterminer le niveau Y* de production maximisant le profit ( graphiquement la fonction de profit atteint un extremum supérieur ). A l’optimum ( c’est à dire pour un profit maximum ) : dProfit / dY* = 0 ( la dérivée du profit par rapport à Y* est nulle* ) * la pente de la tangente de la fonction de profit à son maximum est nulle. Rappelons que la tangente en un extremum ( point maximum ou minimum du graphe ) est horizontale. Cela donne, après résolution, la règle de décision générale

un point au coin de l’image (n = 1, 2, 3, 4) Coin[Texte, n]: Crée un point au coin du texte (n = 1, 2, 3, 4) Note : La numérotation des coins est faite dans le sens anti-horaire, à partir du coin inférieur gauche. 56 Extremum Extremum[Polynôme f] : Tous les extremums locaux du polynôme f (en tant que points). Foyer Foyer[Conique c] : (Tous les) foyers de la conique c PointInflexion PointInflexion[Polynôme f] : Tous les points d’inflexion de la courbe représentative du polynôme f. Intersection