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Le corps R des nombres réels
1.1

Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels

On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels.
L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z.
Le corps Q étant totalement ordonné, on peut définir sur cet ensemble les notions de valeur absolue, de minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure.
On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls
[resp. strictement positif].
Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par :
∀x ∈ X, x ≤ M,
∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe.
Exercice 1.1 Montrer que 0 est la borne supérieure du sous-ensemble X =
Q.

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| n ∈ N∗ n de

Solution 1.1 ♠♠♠
Exercice 1.2 Montrer que le sous-ensemble X = {r ∈ Q | x2 < 2} de Q n’a pas de borne supérieure dans Q.
Solution 1.2 ♠♠♠
Le but de ce chapitre est de donner les principales idées qui conduisent à la démonstration du théorème suivant.
Théorème 1.1 Il existe un corps totalement ordonné R qui contient Q dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure.
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Le corps R des nombres réels

Un tel corps est unique à isomorphisme près.
On rappelle que, si X est un ensemble non vide, alors une suite d’éléments de X est une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans X. On note usuellement u =
(un )n∈N ou u = (un )n≥n0 une telle suite.
L’ensemble QN des suites de nombres