Exercice Exponentielle

PROBABILITES et STATISTIQUES Cours et exercices C. Reder IUP2-MIAGE Bordeaux I 2002-2003 1 SOMMAIRE I- Le modèle probabiliste 1- Evènements 2- Loi de probabilité, espace de probabilité 3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables 4- Exercices II- Probabilités conditionnelles 1- Définition 2- Deux résultats de décomposition 3- Evènements indépendants 4- Exercices III- Variables aléatoires : généralités 1- Définitions 2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité

Chapitre 9 Chapitre 9. Lois à densité Activités et applications 2. Loi exponentielle Activité. Ajuster une courbe pour calculer des probabilités 1. Loi uniforme Activité. Une simulation 1. 1. La fréquence est 103 = 0,103. 1 000 Ύ2 000 3 000 f(x) dx. 2. y 2. Sur l’ordinateur. 3. Il faut entrer la formule, =NB.SI(A2:A1001;''<0,2'')–NB.SI(A2:A1001;''<0,1'') . 4. x X < 0,1 0,1 < X < 0,2 0,1 < X < 0,4 X > 0,6 10 % Intuition Fréquence trouvée 0,103 par la simulation 10 % 30 % 0 40 % y

229/S-08 Actes 8e S´minaire Lotharingien, p. 11-16.] e ´ UNE AUTRE INTERPRETATION ´ DU NOMBRE DE DERANGEMENTS PAR ´ ´ Jacques DESARMENIEN 1. Introduction. — L’´num´ration des d´rangements (ou permutae e e tions sans points fixes) est un exercice classique de combinatoire remontant au 18e si`cle (le probl`me des rencontres de Montmort [7]), expos´ en d´tail e e e e par exemple par Comtet [1]. Deux articles r´cents de Garsia et Remmel et e de Remmel [4, 9] ont renouvel´ l’int´rˆt pour ce probl`me

l’exercice 2.16. Remarque. Parmi les lois à densité que nous verrons au chapitre suivant, la loi exponentielle est la seule à posséder cette propriété. Rien d’étonnant dans cette histoire : de même qu’une suite géométrique peut être considérée comme la version discrète d’une fonction exponentielle, la loi géométrique peut être vue comme la discrétisation en temps de la loi exponentielle (voir exercice 3.16). Les lois géométriques possèdent une autre propriété remarquable, à savoir leur stabilité par

Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2007 (spécialité) E XERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats → → → − − − Pour tout cet exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k . 1. Question de cours Établir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal → − n (a, b, c) et un point M0 x0 , y 0 , z0 . 2. On considère les points A(1 ; 2 ; −3), B(−3 ; 1 ; 4) et C(2 ; 6 ; −1). a. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. b. Vérifier

(N ) = = ≈ 0,9969 P (A) 0,8763 Partie B On considère que la vie d’une peluche se termine lorsqu’elle subit un dommage majeur. On admet que la durée de vie en années d’une peluche, notée D, suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1. On sait que P (D 4) = 0,5. Si D suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors P (D Donc P (D a a) = −∞ λe−λt dt = 1 − e−λa . 4) = 0,5 ⇐⇒ 1 − e−4λ = 0,5 ⇐⇒ 0,5 = e−4λ ⇐⇒ ln 0,5 = −4λ ⇐⇒ λ = − ln 0,5 4 Baccalauréat S A. P. M. E. P. 2. On prendra ici λ

mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Exercice 1 Dans cet exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne par I la matrice unité de Mn(IR). 1) On note tr l’application linéaire qui à toute matrice de Mn(IR) associe sa trace, c’est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux. a) Montrer

Manuel et exercices corrigés, Dunod 2nd édition Lombardot E. (2007) Probabilités, cours et exercices corrigés, archétype 4 thèmes: Calcul de probabilité Dénombrement Propriétés de la Théorie de Thomas Distribution de loi de probabilité Variable Série de Variable Lois classiques (probabilité discrètes et continues) Epreuve de Bernouilli Loi Binomiale Loi de Poisson Loi Géométrique Loi Hyper-géométrique Loi Uniforme Loi de Pareto Loi exponentielle Loi Normale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Loi de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

STT-4000 Statistique math´ ematique I Solutions des exercices de la s´ erie 2 Num´ ero 1. Au num´ero 1 de la s´erie 1, l’estimation de σ 2 est s2 = (2.20 po)2 = 4.84 po2 Quelle est l’erreur-type associ´ee `a cette estimation ? Solution. L’erreur type associ´ee `a une estimation est l’estimation de la racine carr´ee de l’erreur quadratique moyenne de l’estimateur. L’estimateur S 2 ´etant sans biais pour σ 2 , son erreur quadratique moyenne est ´egal `a sa variance. On a vu que 2 4 Var[S type√associ´ee