Exercice Exponentielle

des centres d’appels t´l´phoniques, le processus de ee Poisson et la loi exponentielle sont bien adapt´s pour mod´liser respectivement le processus d’arriv´e e e e des clients et le temps de service. Quelles limites voyez-vous ` cette mod´lisation ? On supposera a e par la suite que : – le processus d’arriv´e est poissonnien de taux λi dans la tranche i (i = 9h − 9h30, 9h30 − e 10h, · · · ) – le temps de service est exponentiel de taux µi dans la tranche i 1 Question 2. A partir des donn´es observ´es

certain P(A) + P(A)=1 La loi de probabilité est : 6 Cas discret : 1) Introduction Exemple 1 : 7 1) Introduction Exercice 1 : 8 2) Bases des probabilités Définition . 9 2) Bases des probabilités Définition . 10 2) Bases des probabilités Théorème . 11 2) Bases des probabilités Exercice 2 : 12 2) Bases des probabilités Exercice 3 : Jet de deux dés réguliers. Considérons les deux événements : – A = « la somme des points est impaire », – B = « la somme

pour x ≤ 0  0 x/a pour 0 ≤ x ≤ a F (x) =  1 pour x ≥ a La loi de la variable al´atoire est alors : e  pour x ≤ 0  0 1/a pour 0 ≤ x ≤ a f (x) = F (x) =  0 pour x ≥ a Les esp´rance et variance sont : E(X) = 1 a, V ar(X) = e 2 La distribution exponentielle : F (x) = 1 − e−λ x pour x ≥ 0 0 pour x < 0 1 2 a. 12 La loi de la variable al´atoire est alors : e f (x) = F (x) = λe−λ x pour x ≥ 0 0 pour x < 0 1 . λ2 1 La loi de la variable al´atoire est alors : E(X) = λ , V ar(X) = e La distribution

électronique est interdite. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre. Exercice 1 On admet que, si une suite ( an ) n∈ℕ converge vers le réel ℓ , alors on a : lim n → +∞ 1 n−1 ∑aj = ℓ . n j =0 On se propose d’étudier la suite ( un )n∈ℕ , définie par la donnée de u0 = 0 et par la relation, valable pour tout entier naturel

fille d’attente Si le systme comporte c serveurs, le taux moyen d’occupation de chaque serveur (c’est-- dire, la proportion du temps pendant laquelle chaque serveur est occup) est alors obtenu par la formule : Exercice Le gestionnaire d'un petit atelier enregistre en moyenne 5 commandes par jour. Les 6 ouvriers employs dans l’atelier sont trs polyvalents, si bien que chaque commande peut tre ralise par n’importe lequel d’entre eux. Nanmoins, le gestionnaire

M/M/1 Exercices 1. Un commercant veut implanter un service à l'auto où le client pourra prendre sa commande sans avoir à débarquer de son véhicule. Il croit que le taux d'arrivée sera de 4 voitures à l'heure et que le taux de service sera de 6 clients à l'heure. Un seul guichet sera disponible. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) z) Quelle est la valeur de λ? Quelle est la valeur de μ? Quelle est la valeur de s? Calculer le temps moyen entre les arrivées

tout n de , un = n2  u1 u0 = 1  donc u2 u1 u1 u0 et la suite n'est pas arithmétique. On a : u u = 4  2 1 p111: 4 p116: 33, 35 p112: 13, 14 p117: 37, 40, 41 p113: 15, 16 p115: 20 1L-cours-suites.doc III) SUITES GÉOMÉTRIQUES ET CROISSANCE EXPONENTIELLE 1) Définition Une suite géométrique est une suite telle que un+1 est constant : chaque terme est le produit du précédent et un d'un nombre constant que l'on appelle raison de la suite. Pour tout n de , un+1 = un × q Terme général défini par

probabilit´ sur un espace Ω fini. e e 1.6.1 Equiprobabilit´ . . . . . . . . . . . . . . . e 1.6.2 El´ments d’analyse combinatoire . . . . . e 1.6.3 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . 1.7 R´sum´ du premier chapitre . . . . . . . . . . . . e e 1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Probabilit´s conditionnelles et ind´pendance e e 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Probabilit´ conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 1 : systèmes série et parallèle : 1a Un dispositif se compose de 4 composants connectés en série dont les fiabilités sont respectivement de 0,98 ; 0,97 ; 0,95 et 0,99. Déterminer la fiabilité de l’ensemble 1b Un dispositif se compose de 4 composants connectés en série dont les fiabilités sont respectivement de 0,92 ; 0,89 ; 0,5 et 0,76. Déterminer la fiabilité de l’ensemble 1c Un dispositif se compose de 4 composants connectés en // dont les fiabilités sont respectivement

Maths Ecricome mai 2000 Voie Economique Exercice 1 Soit X une variable aléatoire à densité dé…nie sur un espace probabilisé. On note f une densité de X, F sa fonction de répartition. On fait les trois hypothèses suivantes: 1. (a) i. Si t appartient à ] 1; 0[, f (t) = 0. ii. Si t appartient à [0; +1[, f (t) est strictement positif. iii. f est continue sur ]0; +1[. 2. Montrer que l’ équation F (x) = 1 admet une solution unique sur 2 ]0; +1[. Cet unique réel, que l’ notera m