Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2005 - groupement A
Exercice 1 - Spécialités CIRA, Électronique, Électrotechnique, Génie optique et TPIL (sur 9 points)
1. Soit la fonction numérique g définie sur [0; π] par g(t) = (1 + cos2 t) sin2 t. (a) Calculons g′ (t) : g′ (t) = −2 cos t sin t × sin2 t + (1 + cos2 t) × 2 sin t cos t = 2 sin t cos t(− sin2 t + 1 + cos2 t) = 2 sin t cos t(cos2 t + cos2 t) = 4 sin t cos3 t (b) Sur [0; π], la fonction sinus est positive, par conséquent g′ (t) est du signe de cos t. Si t ∈ 0, Si t ∈ π 2 : : g′ (t) g′ (t) 0 donc g est strictement croissante sur 0, 0 donc g est strictement décroissante sur 1 1 1 1 1 sur 0; ; . et f (t) = − sur 3 6 6 6 2 π 2 π ,π 2

π ,π 2

2. (a) Dans cette question, on a : f (t) =

1 1 Avec la parité de la fonction f , on peut tracer la courbe sur l’intervalle − ; en 2 2 utilisant la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. De plus, la fonction f est périodique de période 1, donc on obtient la représentation ci-dessous :
1

1 2

-1

5 6

2 3

1 2

1 3

1 6 1 2

1 6

1 3

1 2

2 3

5 6

1

-1

(b) Calculons les coefficients de Fourier de la fonction f : a0 = = 1 T 2 T
T 2

−T 2
T 2

f (t) dt f (t) dt 1 −τ 2 dt + τ 1 2

0 τ

= 2
0

(−τ ) dt 1 −τ 2

= 2 = 0

1 −τ 2

.τ + (−τ ) .

1

Pour n

1, on a : an = = 2 T 4 T
T 2

−T 2
T 2

f (t) cos (2πnt) dt f (t) cos (2πnt) dt 1 −τ 2

car

ω=

2π = 2π T

0 τ

= 4
0

cos (2πnt) dt + τ 1 2

(−τ ) cos (2πnt) dt
1 2

= 4 = = =

1 −τ 2

sin (2πnt) 2πn

τ 0

sin (2πnt) + (−τ ) . 2πn

τ

2 1 − τ sin (2πnτ ) − τ [sin (nπ) − sin (2πnτ )] nπ 2 2 1 − τ sin (2πnτ ) + τ sin (2πnτ ) nπ 2 1 sin (2πnτ ) nπ

Pour n 1, on a bn = 0 car la fonction f est paire. On obtient donc :
+∞

S(t) = a0 + n=1 +∞

(an cos (2πnt))

S(t) =

1 sin (2πnτ ) cos (2πnt) . nπ n=1
+∞

3. (a) Écrivons la formule de Parseval :
2 Eh

=

a2 0

1 + 2

a2 + b2 n n
n=1