Continuité

722/724 DS03 – Exponentielle et Equations différentielles 24 nov 2008 Exercice I - Vrai ou Faux (0,5 si juste; -0,25 si faux; 0 si pas de réponse : de 0 à 2 points) x –x x –x e e e –e f  x = g  x= Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par : et 2 2 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Pour tout réel x on a g  x=– f  – x 3. Pour tout réel x on a [ f  x ]2 – [ g  x ]2=1 2. Pour tout réel x on a g  x f  x0 4. Pour tout réel x on a 2 f  x g

SUITES MONOTONES. 1. Convergence des suites monotones. 1.1. Théorèmes de convergence. Propriété : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Remarque : cette propriété ne donne pas la valeur de la limite mais uniquement son existence et une inégalité sur la limite. En effet, si (un) est croissante et majorée par le réel K alors pour tout n, un ≤ K et donc d’après le théorème de comparaison lim un # K . n! +" Propriété : une suite croissante

ESSEC Concours d’admission 1996 Option économique Mathématique II vendredi 10 mai de 8 h à 12 h Le problème a pour but l’étude d’un jeu, dont la description et l’analyse font l’objet de la partie 2. Dans la partie 1 sont établis quelques résultats préliminaires utilisés ensuite. Partie 1 Soit ( p n ) n(( une suite de nombres positifs telle que la série Σ p n converge. On considère la fonction F : [pic]qui appelée fonction génératrice de cette suite. 1°) Étude de F. a)

SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS (S.L.C.I) Chapitre 1: Caractérisation des systèmes linéaires Plan: 1 -Définitions et propriétés des S.L.C.I. : 2 -Modélisation et réponses des S.L.C.I. : 3 -Transformation de LAPLACE – Fonction de transfert : 4 -Schéma fonctionnel (ou schéma bloc) : Préambule : Ce cours a pour objet la présentation de méthodes permettant la détermination du signal de commande optimal à appliquer au système automatisé (ou à automatiser) compte tenu des performances

CONCOURS COMMUN 2000 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières) ANALYSE Partie I : Etude de la réciproque de la fonction tanh. 1.- On sait que tanh est dérivable sur R et que, pour tout réel x : (tanh) ′ (x) = sinh cosh ′ (x) = sinh ′ (x)cosh(x) − sinh(x)cosh ′ (x) cosh2 x − sinh2 x 1 = = > 0. 2 2 cosh (x) cosh x cosh2 x Donc, tanh est dérivable et strictement croissante sur R. Par suite, tanh établit une bijection de R sur tanh(R). Or, tanh(R)

Le Calcul Intégral niveau maturité Daniel Farquet Eté 2008 Table des matières 1 Introduction 2 2 Intégrale indéfinie 2.1 Définitions et généralités . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Déf. d’une primitive . . . . . . . . . . . 2.1.2 Primitives d’une fonction . . . . . . . . 2.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie . . . . . . 2.1.4 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . 2.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Intégration par identification . . . . . . 2.2.2 Intégration par parties

Contrôle Terminale ES2 Exercice 1 La courbe ci-dessous est la courbe représentative notée Cf d’une fonction f définie sur . Les droites D et  sont les asymptotes à Cf respectivement en et en . À partir du graphique et des renseignements fournis : Donner une équation des droites  et D. Quelles sont les limites de f en et en  ? Quelle est la limite en de f(x) + x - 2 ? Exercice 2 La courbe (Cu), ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur  dans un repère

TD Dérivation 1 Etude de dérivabilité : Exercice 1 Soit f la fonction définie pour t ∈ 0, π2 , par f (t) = 1 sin(t) − 1t . Montrer que f peut être prolongée en une fonction de classe C 1 sur 0, π2 . Exercice 2 Déterminer les limites suivantes : sin(x− π3 ) a) limπ 1−2 cos(x) b) lim xn −1 x−→1 x−1 x−→ 3 c) limπ cos(x)−sin(x) 4x−π x−→ 4 Exercice 3 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée là où elle existe

EXERCICE 3 (4 points ) (Commun à tous les candidats) On donne la représentation graphique d’une fonction f définie et continue sur l’intervalle I = [−3 ; 8]. 4 y 3 2 1 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x 8 −1 −2 x On définit la fonction F sur I par F (x) = f (t) dt. 0 1. a) Que vaut F (0) ? b) Donner le signe de F (x) : - pour x ∈ [0 ; 4] ; - pour x ∈ [−3 ; 0]. Justifier les réponses. c) Faire figurer sur le graphique donné en ANNEXE les éléments

Démonstration de la dérivabilité de ln x Cette démonstration a deux variantes assez éloignées l’une de l’autre et assez techniques l’une et l’autre ! Propriété La fonction ln x est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x )' = 1 x Démonstration 1 Le principe On travaille en deux temps : dérivable en 1 puis dérivable pour tout réel strictement positif Pour retenir cette démonstration Elle est assez difficile donc pas de découragement surtout ! On peut s’aider d’un schéma pour visualiser car on