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DS03 – Exponentielle et Equations différentielles

24 nov 2008

Exercice I - Vrai ou Faux

(0,5 si juste; -0,25 si faux; 0 si pas de réponse : de 0 à 2 points) x –x x –x e e e –e f  x = g  x= Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par : et 2 2 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Pour tout réel x on a g  x=– f  – x 3. Pour tout réel x on a [ f  x ]2 – [ g  x ]2=1 2. Pour tout réel x on a g  x f  x0 4. Pour tout réel x on a 2 f  x g  x =g  2 x Exercice II - Calculs 1°) Résoudre dans ℝ : a) 2 e 2x 7 e x – 9=0 2 e e 3x2 e – 5x 1 = – 4x b) e 3/ x x1 c) e e 2°) Calculer les limites suivantes : 2 e 3x – e x a) lim 2x x ∞ 3 e 5 (1+0,5+1+0,5+1=4 points)

b) lim x 0

x  2 e x – 5 ex – 1 (1,5+0,5=2 points)

Exercice III - ROC : Prérequis sur la fonction exponentielle : • La fonction exponentielle exp est dérivable sur ℝ ; • Sa fonction dérivée exp' est la fonction exp elle-même ; 0 x • e =1 et e x pourtout réel x strictement positif. 1°)

x a. Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ;∞[ , e x  . 4 x e b. En déduire lim . x ∞ x Question supplémentaire*** : Vérifier que, pour tout réel x non nul et tout entier naturel n non nul, e 1 e = n n x n x n Problème x 2

 x n

n

. En déduire lim

ex lim x 2 e – x =0 n puis démontrer que x ∞ x∞ x

(1(0,5+0,5)+4,5(1,5+0,5+1+0,5+0,5+0,5)+6,5(1+1,5+0,5+0,5+1,5+1,5)=12 points)

Partie A : Lecture graphique On donne dans un repère orthonormal les courbes (C) et (F) représentant deux fonctions définies et dérivables sur ℝ. On sait que l'une est la dérivée de l'autre. On peut donc les noter g et g ' . Pour les questions qui suivent, on se rapportera à la figure ci-dessous :
(C)
y 2 1

-3

-2

-1

0 -1 -2

1

2

3

4

5

6

7

x

(F)

-3

Associer à chacune des fonctions g et g ' sa représentation graphique. On justifiera le résultat 3 en donnant un tableau où figureront, sur l'intervalle –