Cas Sphère

PYRAMIDES, CÔNES DE RÉVOLUTION, SPHÈRES ET BOULES, AGRANDISSEMENT ET RÉDUCTION, SECTION. I) PRISMES DROITS ; CYLINDRES DE RÉVOLUTION. 1) Prismes droits : Ils ont 2 faces qui sont superposables : ce sont les bases. Les autres faces, appelées faces latérales, sont des rectangles. a) Cas général : b) Cas particuliers : Parallélépipède rectangle ou pavé droit : toutes les faces, même les bases sont des rectangles : cube : toutes les faces sont des carrés. c) Volume

1 cm et 10 cm, ont été observés dans des orbites basses (entre 400 km et 1000 km). La vitesse orbitale typique de ces objets avoisine les 7, 5 km.s−1 . Données : masse volumique de l’aluminium : µAl = 2, 70 g.cm−3 (a) Supposons la collision d’une sphère d’aluminium de 4 cm de diamètre avec un satellite arrivant en sens contraire. Calculez le transfert maximum d’énergie cinétique. On exprimera le résultat en J puis en g de TNT sachant qu’1 g TNT équivaut à 1000 calories c’est-à-dire à 4184 J. (b)

changent. Les yeux : une sphère applatie pour obtenir une ellipsoïde très applatie pour le blanc de l’œil, une petite sphère pour la pupille et un parallélépipède rectangle pour les sourcils. Le chapeau : voir plus loin La tête : une sphère La bouche : une courbe de bézier fermée à quatres points de contrôles L’écharpe : voir plus loin Les bras : des cylindres issus de l’extrusion d’un cercle Les mains : deux métaballs converties en maillage Les pieds : des sphères aplaties et tronquées

uns dans les autres, dans l’ouvrage Mysterium Cosmographicum : On remarque que ces solides platoniciens ont de plus en plus de faces, et tendent à se rapprocher de la structure d’une sphère. Pour les Anciens, la sphère manifeste la perfection de la création. C’est ainsi qu’ils envisagent l’existence d’une sphère céleste à laquelle seraient suspendues les étoiles. Notons au passage que ce concept fait écho à celui que proposaient les égyptiens plusieurs millénaires auparavant. Ce mode de

radian Mesure d’un angle solide sur une sphère de rayon unité sur un cercle de rayon unité (mesure de la portion d'espace limitée par une surface conique de sommet O) A' O α A R O dS dS : aire de la calotte découpée par le cône sur une sphère de rayon R AA ' α (rd) =  longueur de l’arc. Le nombre qui mesure la longueur de l’arc α sur le cercle de rayon unité est la mesure en radian de l’angle α. dΩ le nombre qui mesure la surface S sur la sphère de rayon unité est la mesure en stéradian

utilisant les polygones à 96 côtés, il fournit une valeur de π comprise entre 22/7 et 223/71.    Dans son traité Sur la sphère et le cylindre, il prouve que le volume d'une sphère vaut les deux tiers du volume du cylindre circonscrit. Il accorde même à cette découverte une importance particulière, puisqu'il demande qu'une représentation d'un cylindre circonscrit à une sphère soit gravée sur sa tombe.     Parabole Dans l'Arénaire, Archimède cherche à calculer le nombre de grains de sable contenus

les directions pour diminuer sa surface, elle donne alors à l'air une forme de sphère car c'est la forme géométrique qui a la plus petite surface pour un volume donné.Le film est en équilibre instable: à la moindre petite fuite, il se déchire et redevient une goutte. Notons que c'est le mathématicien allemand Hermann Amandus Schwarz qui, en 1882, prouve que parmi toutes les surfaces enfermant un volume donné, la sphère était bel et bien celle qui présentait cette caractéristique. Comme nous l'avons

ii) l’expression de a2 en fonction de: b ; c et cos(B Aˆ C) 6) Exercices: 1) Donner la définition de: S ,r , la sphère de centre  et de rayon r ( r  0;+) 2) AB est un diamètre de S ,r a) Démontrer que: Pour tout point M de E :     2 MA .MB  M  r 2 b)i) Déduire de a) que: M  S ,r  MA  MB ii) Enoncer le résultat analogue dans le plan P 3) S et S ’ sont deux sphères de même centre  ,  et ’ sont deux demi-droites perpendiculaires, d’origine  ,  coupe S en A et S ’ en A’

l’expression de a2 en fonction de: b ; c et cos(B A C) 6) Exercices: 1) Donner la définition de: S ,r , la sphère de centre  et de rayon r ( r  0;+) 2) AB est un diamètre de S ,r a) Démontrer que: Pour tout point M de E :     2 MA .MB  M  r 2 b)i) Déduire de a) que: M  S ,r  MA  MB ii) Enoncer le résultat analogue dans le plan P 3) S et S ’ sont deux sphères de même centre  ,  et ’ sont deux demi-droites perpendiculaires, d’origine  ,  coupe S en A et

renforcent l’illusion. Les lignes centrales horizontales et verticales sont droites, même si ce ne semble pas être le cas à première vue. Les autres sont des courbes tracées à l’aide d’angles soigneusement calculés. Vasarely agence ses figures géométriques avec une précision comparable à celle d’un tracé d’architecte. Ce tableau est un parfait trompe l’œil : l’illusion d’une sphère sur une surface plane, créée par des moyens d’optique spécifiques, liés à l’utilisation de la couleur, de la forme et