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définie sur un intervalle I, il est sous-entendu que I est non vide et non réduit à un seul élément. (I ￿=]a, a[ et I ￿= [a, a] avec a ∈ R). Notations On note f : D → R une fonction définie sur D. f (D) = {f (x), x ∈ D} l’image de D par f . f −1 {0} = {x ∈ D, f (x) = 0} le noyau de f . Γ = {(x, f (x)); x ∈ D} le graphe de f (Γ est parfois noté Γf ). → → − − Représentation du graphe Soit un plan muni d’un repère (O, i , j ) (en général orthonormé). 3 4 CHAPITRE 1. FONCTIONS : GENERALITES - LIMITES

- , ( ) 01/ ) (( 0) 3 04 ,$ / * 0 * 0 ( / - $, & ( , ( & ( *( ( & ( * ( ) ( ( (2 ) ( * )2 ) ! + ! 5, * $* ) ) ! .+ 04 *0 % ( 0 ! 57 & ( 0 ) ( ( + * ) 0 * . 04 60 3 / * *( * *( * , ! .. . / * *( ( ( / * * ! - $ & $ ( 0 ) )2 )* )) (( 0) ! 75 ! .. // (+ $,0 ! ..5 $ 1 ! ..8 ,

représenterons tout code avec un ensemble de ‘0’ et de ‘1’. Ces deux symboles représentent les formes possibles d’un bit. 5.1.1 Bit Bit : Le mot fut utilisé pour la première fois par Claude Shannon dans un article publié en 1948. On attribue cependant son origine à John Wilder Tukey, mathématicien américain, qui inventa également le mot software. Bit est une contraction des mots binary digit, ou également binary unit. Un bit peut prendre deux valeurs possibles, ‘0’ ou ‘1’. Il est à la base des codes

dérivée. Elle est due aux travaux de plusieurs mathématiciens du 18ème siècle (Euler, Taylor, Leibniz...). Soit u(x, y, z, t) une fonction de l'espace et du temps. Par dénition de la dérivée, on a : ∂u u(x + ∆x, y, z, t) − u(x, y, z, t) = lim ∂x ∆x→0 ∆x Si ∆x est petit, un développement de Taylor de u(x + ∆x, y, z, t) au voisinage de x donne : u(x + ∆x, y, z, t) = u(x, y, z, t) + ∆x ∂u ∆x3 ∂ 3 u ∆x2 ∂ 2 u (x, y, z, t) + (x, y, z, t) + .... (x, y, z, t) + ∂x 2 ∂x2 6 ∂x3 En tronquant la série au

6 = O 2x = 6 x = 6 : 2 = 3. (On applique la règle «  signe de a = 2 après le o », donc + après le 0. CHERCHER LA VALEUR DE X QUI ANNULE LA DERIVEE (CHERCHER LE SIGNE DE a.) ( Dresser le tableau de variation Tracer les flèches. positionner f(x) et f’(x) x 3 + F’(x) 0 + F(x) -18 Refaire la formule en remplaçant x par 3

161.966 | 18% | frais d'établissement | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% | Immobilisations incorporelle | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% | Immobilisations corporelles | 216.280 | 29% | 200.218 | 26% | 176.926 | 22% | 161.966 | 18% | Immobilisations financières | 775 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% | Actifs circulants | 539.404 | 71% | 569.258 | 74% | 628.936 | 78% | 720.380 | 82% | créances à plus d'un an | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% | 0 | 0% | stocks | 74.913 | 10% | 75.294 | 10%

Eurocode 1 – Actions sur les structures - Partie 3: Actions induites par les appareils de levage et les machines: 2006 et prNBN EN 1991-3 ANB:2009 (F) s e I d B o c A o F ur 11 0 E 2 e l 0 c 1 y 0 C 2 Eurocode 3 – Calcul des structures en acier - Partie 6: Chemins de roulement (+ AC:2009):2007 et prNBN EN 1993-6 ANB:2009 (F) Eugène 1: 1 Piraprez , Luc Schueremans² Steel Solutions, Rue Zénobe Gramme 44, B-4280 Hannut info@steelsolutions.be ²: KULeuven, departement burgerlijke bouwkunde, kasteelpark

Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc : bj = ¢ ¢ ¡ ℘(p + 1) j k =0 p +1 p j

Q1 0 xor 0 0 xor –  Q4(t+1) = Q3(t) Q3(t+1) = Q2(t) Q2(t+1) = Q1(t) + Q4(t) Q1(t+1) = Q4(t) 0 0 0 0 0 xor 0 0 0 0 0 0 0 xor •  En général, avec n bascules, cycle sur 2n-1 valeurs Q2 Q1 Q4 Q3 différentes non nulles : –  Exemple: 15 valeurs (NB 0000 est absorbant) –  générateur pseudo-aléatoire avec une longue période. 1 0 1 0 1 0 1 1 0 xor 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xor Q D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xor 0 0 0 1 1 0 1 0