Triangle équilatéral

(voir réponses et correction) 1°) Soit ABC un triangle. → → → → → → Démontrer que ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = π [2π]. → → 2°) Soit ABC un triangle équilatéral tel que ( AB ; AC ) = - π [2π]. 3 → → Montrer qu'il n'est pas possible d'avoir ( BC ; BA ) = + π [2π]. 3 → → π [2π]. En déduire que ( BC ; BA ) = 3 → → Justifier de même que ( CA ; CB ) = - π [2π]. 3 → → 3°) Soit ABC un triangle équilatéral tel que ( AB ; AC ) = - π [2π]. 3 Soient A'

b 1+ 2a 1+ b 11a 9b (3x+1)² - 5² 9x²+6x-24 (3x+6)(3x-4) (3x-24)(3x+26) 109 956 mm3 109 955,7429 mm3 On ne peut pas savoir 24 cm 7 350 π mm3 2,8 cm 35 000 π mm3 4,8 cm 8 9 9x²-16 = 10 Un triangle dont les mesures des côtés sont 8 , 4 et 2 2 cm est 11 4 - 1× 3+ 1 = 3 3 2 15×15×10 −6 8×10 12 10−3 +10−2 (3x+4)(3x-4) - 1100 13 14 15 16 17 18 19 20 = 11 - 1 10 2 = 5 7 Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− PRÉNOM : −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− CLASSE : −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− N° D’ORDRE : −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− … /30 … /1 QUESTION 1 En utilisant avec précision les instruments qui conviennent : a) TRACE un triangle équilatéral ; le segment [AB] est un de ses côtés. A B b) TRACE un trapèze isocèle. Voici sa hauteur. h c) TRACE un carré ; le segment [EF] est une de ses médianes. /3 E F 3 /3 QUESTION 2 A B C D Dans le rectangle ci-dessus : TRACE

2) au plan P est : 2 3 2. 3. 4. 5. 6. Exercices de géométrie 2 Baccalauréat S 2. Centres étrangers juin 2005 Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB = AC = AD = a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD. 1. Montrer que la droite (AA1 ) est orthogonale au plan (BCD). − → −→ − → −→ − − − − On pourra par exemple calculer AA1 · CD et AA1 · BC . 2. En exprimant de deux façons différentes le volume du

demandé. A B R K L I H Figure 11 5 C Figure 12 : On veut inscrire un cercle dans un triangle quelconque ABC Il faut premièrement trouver le centre du triangle, qui sera le centre du cercle inscrit : divisez l’angle ABC, c’est-à-dire, l’angle B du triangle, en deux parties égales, par la méthode de la figure 13 ; divisez aussi l’angle ACB, c’est-à-dire, l’angle C du triangle, en deux parties égales ; les lignes BG et CE, qui divisent les deux angles , se coupent au point F : ce

1 6 ×1+ −1 6 ×1 = −1 6 + 1 6 = 0 là encore les vecteurs sont orthogonaux, donc (IL) et (BI) sont perpendiculaires (orthogonales et coplanaires) donc (IL) est la hauteur issue de I dans BIG. L est donc l’intersection de deux des hauteurs du triangle BIG, c’est bien l’orthocentre de BGI. Exercice 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Partie A 1. zA = − 3 2 +i p3 2 = p3× Ã − p3 2 +i 1 2 ! = p3 h −cos ³¼ 6 ´ +isin ³¼ 6 ´i = p3 · cos

OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O, • OA = OB = OC = a. On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le −−−→ −−−→ point de l’espace défini par HO = OD . 1) Quelle est la nature du triangle ABC ? 2) Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’orthocentre du triangle ABC. 3) Calcul de OH a) Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l’aire S du triangle ABC. √ 3 b) Exprimer OH

considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distinct et tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixes z est telle que les nombres complexes et sont imaginaires purs. a) M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. b) M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] c) M est l’orthocentre du triangle Abc. 3) Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre

sécantes     3. Les  droites  (!")  et  (!")  sont  :   non   a   perpendiculaires   b   parallèles   c   coplanaires   a   a     4. Le  triangle  !"#  est  :   a   rectangle   b   équilatéral   a   c   quelconque       QCM  2  :  Position  relative  de  plans   1. Les  plans  (!"#)  et  (!"#)  sont  :   a   parallèles   b

volumes …………………………………………………...... 3 2. Fractions, puissances, racines carrées, équations …………………………....9 3. Droites dans le plan …………………………………………………...............23 4. Vecteurs dans le plan ………………………………………………........…...28 5. Relations dans le triangle – Pythagore – Thalès ………………………....….34 6. Fonctions polynômes et homographiques ……………….…………….....….42 7. Fonction logarithme et exponentielle …………………………………...……56 8. Fonctions circulaires (sin, cos, tan, cercle trigonométrique) ……….……….60 9.