Triangle équilatéral

points C, E et G dans le repère A, i , j , k . uuur uuu r b) Calculer les composantes des vecteurs AG et CE . uuur uuu r 3) Démontrer que les vecteurs AG et CE sont orthogonaux Exercice 2 ABCD est tétraèdre régulier d’arête a )chaque face est un triangle équilatéral de côté a.) A 3ème Maths ( ) I B G J D uuu uuur uuu uuu r r r uuu uuur r 1- Calculer AB . AC ; AB . BC et AB . AD 2- Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. 3- Démontrer que les droites (AC) et (BD)

seront utiles dans ce chapitre : – En 6e et 5e les propriétés relatives aux angles des triangles isocèles, équilatéraux et rectangles ; – En 5e, les angles opposés par le sommet et leur propriété ; – En 4e, la caractérisation des points d’un cercle de diamètre donné par la propriété de l’angle droit. La propriété directe : « Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle » est généralisée dans le programme de 3e par la relation qui existe entre

Construire le point G. (Argumenter) Exercice 2 ABC est un triangle. 1. G est le barycentre de (A, 1)(B, 2)(C, 3). Construire le point G. (Argumenter) 2. G' est le barycentre de (A, 1)(B, 3)(C, -3). Construire le point G'. (Argumenter) 3. Démontrer que (AG') est parallèle à (BC). Exercice 3 B est le milieu de [AC]. Démontrer que le barycentre de (A, 1)(C, 3) est confondu avec celui de (B, 2)(C, 2). Exercice 4 Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A, -2)(B

polyèdre à 4 faces triangulaires, * est constitué de 4 faces en triangle équilatéral, * possède 4 sommets et 6 arêtes, * et possède 24 triangles rectangles scalènes (dont les trois côtés sont inégaux). ------------------------------------------------- L'hexaèdre régulier (cube) L'hexaèdre (de hexa, six, et èdre, base) * est constitué de 6 faces carrées, * possède 8 sommets et 12 arêtes, * possède 24 triangles rectangles isocèles (avec deux côtés égaux)? -------------------------------------------------

B est associé au réel x. donc le point J est associé au réel y. donc le point D est associé au réel z. 4. a) Les coordonnées de B sont soit Les coordonnées de H sont soit. 4. b) Le triangle BJH est rectangle en H. On applique le théorème de Pythagore soit  ;Donc BJ = 1 4.c) Le triangle BJE est rectangle en B. On applique le théorème de Pythagore : soit  ;Donc . EXERCICE 2 : / 4points Difficulté : 1. Sachant que montrer que la valeur exacte de est : On donne

faire des calculs avec des radicaux. Faire le point sur ce qui a été fait sur les images et antécédents au collège. Exercice n°1 : Une mise en équation Livre page 220 n°52 : Dans le triangle équilatéral ABC, la hauteur issue de A, (AH) est aussi la médiatrice de [BC], BC 6 par conséquent le triangle ABH est rectangle en H et BH = = = 3. 2 2 D’après le théorème de Pythagore, on a : AH2 + BH2 = AB2 D’où AH2 = 62  32 = 36  9 = 27 Soit AH = 27 = 3  9 = 3  9 = 3 3 De plus, (AH)

courbe de Koch. A partir de cette courbe, on peut construire le flocon de Koch. Il est élaboré à partir d’un triangle équilatéral de coté a. On enlève le tiers central de chaque segment du triangle, et on le remplace par un autre triangle équilatéral de côté a/3, tourné vers l’extérieur et sans base. On recommence ceci à l’infini sur tous les nouveaux segments de chaque nouveau triangle. Les quatre premières étapes de la formation du flocon de Koch Le nombre de côtés d’un flocon de Koch est

appartiennent au plan médiateur du segment [CH]. [AC] et [AH] sont deux diagonales de deux faces du cube d’où AC = AH [GC] et [GH] sont deux arêtes du cube d’où GC = GH Le triangle CFH est équilatéral car ses 3 côtés sont 3 diagonales de 3 faces du cube d’où I est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle CFH , on en déduit que IC = IH . Finalement les points A, G et I sont équidistants de C et de H donc ils appartiennent au plan médiateur du segment [CH]. (0,5 pt) b) Démontrer

|u + u | −|u | −|u | )=0 2 → 2 1 × 2| u | = 0 2 |u |=0 → → → u= 0 → → → → Exemple : à l'aide de la linéarité, démontrer que : AB . CD = − BA . CD Exercice : ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a. (Chaque face est un triangle équilatéral de côté a) Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales : → → → → π a2 Remarquons que AB . AC = AB × AC × cos( AB , AC ) = a × a × cos = . 2 3 → → a2 De même, AB . AD = . 2 → → → → → → → → → a2 a2 D'où : AB . CD = AB .( AD − AC ) =

suppose que A et B ont des coordonnées entières. Montrer qu’il en est de même de C et D. 5. * On appelle () le cercle trigonométrique. ABC est un triangle équilatéral inscrit dans ().  est une droite passant par O. On désigne par H, K et L les projections orthogonales respectives de A, B et C sur . Montrer que . 6. * Soit ABC un triangle équilatéral direct du plan. On note R1, R2 et R3 les rotations de centres A, B et C et d’angle . Exprimer R3 o R2 o R1. 7. * Le plan est rapporté à un repère