Théorème de Schwarz

famille qui est obtenue en remplaçant dans G l’un des vecteurs par est donc génératrice, ce qui est bien ce que demandait le lemme. Corollaire : le nombre d’éléments d’une famille libre est toujours inférieur ou égal à celui d’une famille génératrice. Théorème 1 : les bases (finies) d’un espace vectoriel (s’il y en a) ont toutes le même nombre d’éléments. Définition : la dimension d’un espace vectoriel ayant au moins une base finie est le nombre d’éléments de cette base : Un espace vectoriel n’ayant pas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sphère car c'est la forme géométrique qui a la plus petite surface pour un volume donné.Le film est en équilibre instable: à la moindre petite fuite, il se déchire et redevient une goutte. Notons que c'est le mathématicien allemand Hermann Amandus Schwarz qui, en 1882, prouve que parmi toutes les surfaces enfermant un volume donné, la sphère était bel et bien celle qui présentait cette caractéristique. Comme nous l'avons vu précédemment, les molécules s'attirent entre elles. Celles qui composent le

La plupart des math´maticiens sont d’accord sur un e certain nombre d’axiomes (ceux qui fondent la th´orie des ensembles, voir chapitre suivant) e qui sont donc la plupart du temps sous-entendus. Par exemple nous verrons au chapitre 5 que : ´ ` THEOREME: Soit n un nombre entier qui n’est pas le carr´ d’un entier alors il n’existe e √ 2 pas de nombre rationnel x tel que x = n (en d’autres termes n n’est pas un nombre rationnel). Pour appliquer un th´or`me ` une situation donn´e, on doit d’abord v´rifier

(n+1−k) On en déduit que (f g)(n+1) (x) = f (x)g (k) (x). k k=0 Donc (Pn+1 ) est vraie. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 EXERCICE 4 analyse Énoncé exercice 4 1. Énoncer le théorème des accroissements finis. 2. Soit f : [a; b] −→ R et soit x0 ∈ ]a, b[. On suppose que f est continue sur [a; b] et que f est dérivable sur ]a; x0 [ et sur ]x0 ; b[ Démontrer que, si f admet une limite en x0 , alors f est dérivable en x0 et f (x0

composition peut évoluer dans l’année afin de préparer au mieux les écoles « parisiennes ». Les DL sont obligatoires pour tous. Les DL* ne sont obligatoires que pour les élèves du groupe *. 5. Les questions de cours en colle (élèves et colleurs) : Les théorèmes et autres propositions dont les démonstrations sont au programme de colle sont libellés par (QC) ou bien par (QC*). Les questions (QC*) peuvent être proposées aux élèves du groupe * mais pas aux autres élèves. En colle, il doit toujours y avoir en

TABLE DES MATIÈRES 13 Conditionnement et indépendance 13.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Les trois théorèmes fondamentaux . . . . . 13.3 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Indépendance de deux événements . . . . . 13.3.2 Indépendance d’une famille d’événements . 13.4 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Le

non-stationnaires . . . . . . . . . 6.8 Les processus ARIM A (p; d; q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Processus ARIM A et formes AR ou M A . . . . . . . . . . . 6.9 Les modèles SARIM A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Théorème de Wold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Théorie spectrale et processus ARIM A . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.1 Théorie spectrale et notion de …ltre . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.2 Le spectre d’un processus

sur El (u) pour tout l ∈ K. Preuve On prouve sans difficulté que w est une application linéaire bijective. De plus, pour l ∈ K et X ∈ Mn,1 (K), X ∈ El (A) ⇔ AX = lX ⇔ u(w(X)) = lw(X) ⇔ w(X) ∈ El (u). ❑ ➤ Remarques • On déduit de ce théorème que les valeurs propres de A sont les valeurs propres de u et pour tout l ∈ K, dim(El (u)) = dim(El (A)). • Cette proposition permet de donner une version « matricielle » de tous les résultats donnés sur les endomorphismes. On peut par exemple

Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques. Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent