Théorème de Schwarz

i−1 j=1 On a le Théorème : La somme Mi est directe ssi ∀i ∈ {2, · · · , 0}, Mi ∩ Mj = {0} Sous-espaces vectoriels supplémentaires Soient M et N deux sous-espaces vectoriels de E. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. E = M ⊕ N 2. E = M + N et M ∩ N = {0} 3. ∀x ∈ E, ∃!(x1 , x2 ) ∈ M × N, x = x1 + x2 On dit que M et N sont deux sous-espaces supplémentaires de E. 1 Projecteur Soit p ∈ L(E). On dit que p est un projecteur si p ◦ p = p. On a le Théorème : Si p est un projecteur

. . . . . . . . . 6.2.4 Somme des carrés (7) ¡ (8) . . . . . . . . 6.2.5 Log-vraissemblance du modèle (9) . . . . 6.2.6 Test du Durbin-Watson (10) . . . . . . . 6.2.7 ’Dependent var’ (11) ¡ (12) . . . . . . . . 6.2.8 Critère d’Aikaïké (13) et de Schwarz (14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Séries temporelles : théorie et applications

Apprendre Les concours se préparent sur deux ans. Il est essentiel que les candidats aient fourni un travail régulier afin que les notions soient parfaitement acquises et que les automatismes soient bien en place. On ne peut utiliser à bon escient les théorèmes, définitions et propriétés que si on les connaît parfaitement c’est-à-dire si on en connaît les hypothèses et les conclusions. Un travail de « par cœur » est une composante fondamentale de l’activité mathématique. La constitution d’un formulaire

uniformément continue en un point ! On exprime cela en disant que l’uniforme continuité est une notion globale. Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard mathprepa.fr Page 496 20.2 Continuité par morceaux Chapitre 20 : Intégration Le théorème de Heine Le théorème suivant dit que « la continuité sur un segment implique la continuité uniforme ». Proposition 20.1.1 (héorème de Heine) Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] de R, à valeurs dans K. Alors la fonction f est uniformément continue

. . . . Théorème de Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule du crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . Inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismes de Sn dans × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère de conjugaison des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Wilson

chapitres du livre [B] forment un bon condensé (d’un niveau assez élevé) des grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle. Le livre [HL] est aussi très clair et contient des exercices pertinents qui sont pour la plupart corrigés dans [LM]. On pourra aussi consulter le très concis [Wi] qui adopte une présentation un peu moins abstraite (mais attention aux notations peu standards). Les livres [Wa],[S] présentent les grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle mais dans un cadre plus général que celui abordé

1.2 4 4 Applications linéaires 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4 CHAPITRE 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 2.1 2.2 2.3 Familles libres, familles liées, familles génératrices Sommes, sommes directes Théorème d’isomorphisme Interpolation de Lagrange Théorème du rang 9 9 10 11 Dualité 13 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Généralités Hyperplans Bases duales 13 14 16 Calcul matriciel 22 1.4.1 1.4.2 Trace Blocs 22 27 Déterminants 35 Le groupe symétrique 36 2.1.1 2.1.2 2.1.3 36 36

continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont. Exercice 10 [ 02637 ] [correction] On note (. | .) le produit scalaire canonique sur Rn et . le produit scalaire associé. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : : si x, y ∈ Rn , (x | y) x y avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires et de même sens. a) Soit x, a, b ∈ Rn tel que a = b et x − a = x − b . Montrer que x− a+b < x−a 2 Exercice 3 [ 01105 ] [correction] Montrer que si un sous-espace

19.1.4 (inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit E un espace préhilbertien réel. Pour tous vecteurs u, v de E, on a l’inégalite dite « de Cauchy-Schwarz » : |(u | v)| Il y a égalité dans ce résultat si et seulement si u et v sont liés. u v . Les deux exemples classiques – On se place dans Rn , muni de son produit scalaire canonique. n Pour tout vecteur u = (x1 , . . . , xn ), on a u = x2k 1/2 . k=1  u = (x1 , . . . , xn ) Pour tous  l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit : v = (y1 , . . . ,

b a f g (n) . 2. Application : On pose Qn (x) = (1 − x2 )n et Pn (x) = Pn (x). Justifier que Pn est un 1 o e polynˆme de degr´ n, puis prouver que −1 QPn = 0 pour tout polynˆme Q de degr´ o e inf´rieur ou ´gal ` n − 1. e e a ´ ` Autour du theoreme fondamental Exercice 10 - Toutes les int´grales sont nulles - L1/Math Sup e Soit f : [a, b] → R continue telle que, pour tout couple (α, β) ∈ [a, b]2 , on a Montrer que f ≡ 0. β α f (x)dx = 0. Exercice 11 - D´riv´e p´riodique - L1/Math Sup