Théorème de Schwarz

COURS DE CALCUL DIFFERENTIEL ANNEXE 1 : Etude des extremums locaux des fonctions numériques de plusieurs variables réelles. Théorème : Soient U un ouvert de (p ,[pic]: U[pic]( de classe C², [pic][pic]U un point critique de[pic]. Notons Q la forme quadratique définie sur (p par : [pic]h = (h1,…,hp) [pic](p , Q(h) = [pic]hi.hj.[pic]. Si Q est positive et non dégénérée, alors [pic] admet un minimum local strict en [pic] Si Q est négative et non dégénérée, alors [pic] admet un maximum

Concours National Commun - Session 2010 Corrigé de l’épreuve de mathématiques I Filière MP Étude de l’équation de la chaleur Corrigé par M.TARQI I. R ÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.1 Puisque f est de classe C 2 sur l’ouvert U, alors, d’après le théorème de Schwarz on peut écrire, pour tout x ∈ U, ∂2f ∂2f (x) = (x), ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi donc Hx est une matrice symétrique, et comme elle est réelle, alors Hx est diagonalisable dans une base orthonormée de Rn . 1.2 1.2.1 f est de classe C 2 sur l’ouvert U et admet

indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier, on dispose des notions de pgcd, ppcm et du théorème de Bézout qui nous dit que, pour r ≥ 2, les polynôme P1 , · · · , Pr sont premiers entre eux dans leur ensemble si, et seulement si, il existe des polynômes U1 , · · · , Ur tels que r ∑ k=1 Uk Pk = 1. Dans ce qui suit, u est un endomorphisme

Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques. Pierre-Jean

suite convergente et théorème fondamental ”la suite U = u n n converge vers L SSSI toutes les sous-suites convergent vers L SSSI les deux sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞ , extension des résultats sur opérations et limites ; théorèmes usuels sur ordre et limite notamment théorème de passage à la limite sur une inégalité et théorème d’encadrement ) ; théorèmes classiques sur les suites

u = 0 ou v = 0 ). (Considérer par exemple u (1 ; 2 ; 0) et v (2 ; −1 ; 0) pour s'en → → → → convaincre) • Si u et v sont colinéaires ( v = k u ) alors u . v = x.kx + y.ky + z.kz = k( x 2 + y 2 + z 2 ) = k | u | . → → → → → → → 2 Théorème 1 Autres expressions du produit scalaire → → 1. u.v= 1 → → 2 → 2 → 2 ( |u + v | −|u | −|v | ) 2 → → → → → → → → → → 2. Lorsque u ≠ 0 et v ≠ 0 , u . v = | u | . | v | . cos( u , v ) → → → → → → → → → 3. Lorsque u ≠ 0 , u . v = u . v ′

Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques et limites. Le nombre e. 2 - Fonction logarithme de base a : définition, propriétés algébriques, limites

−→ 3xx + xy + yx + yy , les choses deviennent beaucoup moins intuitives. √ Par exemple, ı = 3 et  = 1. Remarque Théorème La norme est homogène ; cela signifie que : ∀x ∈ E, λx = |λ|. x . ∀λ ∈ R, (Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire) Soient E un espace préhilbertien réel et x, y, z ∈ E. ¬ ¬ ¬ ¬ x . y . (i) Inégalité de Cauchy-Schwarz : ¬(x|y)¬ Cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. Version norme : x+y x +

1 Chapitre 8. Fonctions de deux variables Table des matières 1 Généralités 2 1.1 Un minimum de topologie de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Ensemble de dé�nition d'une fonction de deux variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Fonctions partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

), cos( ) et cos( ), puis vérifier que cette équation n’a pas de racine rationnelle (supposer par l’absurde 7 7 7 p qu’il y a une racine rationnelle avec p ∈ Z∗ , q ∈ N∗ et PGCD(p, q) = 1 et montrer que p divise 1 et q divise 8). q (On rappelle le théorème de Gauss : soient a, b et c trois entiers relatifs tous non nuls. Si a divise bc et a et b sont premiers entre eux, alors a divise c). √ √ √ 6) (***) 2 + 3 + 5. no 2 : (**IT) Soient A et B deux parties de R, non vides et bornées. Montrer que sup