Théorème de Schwarz

0.005661 9.286755 0.0000 R-squared 0.915114 Mean dependent var 13.14000 Adjusted R-squared 0.904503 S.D. dependent var 0.697933 S.E. of regression 0.215679 Akaike info criterion -0.053190 Sum squared resid 0.372141 Schwarz criterion 0.007327 Log likelihood 2.265951 Hannan-Quinn criter. -0.119577 F-statistic 86.24381 Durbin-Watson stat 1.057308 Prob(F-statistic) 0.000015 Analyse de la consommation d’alcool : 3.Modélisation 1. Feuille de calcul

Condition du second ordre: condition portant  sur les dérivées secondes 2.1. Maximum et minimum sans  contraintes • Gradient d’une fonction à 2 arguments: 2.1. Maximum et minimum sans  contraintes • Matrice hessienne d’ i h i d’une fonction à 2  f i à arguments: • Théorème de Schwarz: 2.1. Maximum et minimum sans  contraintes 2.1. Maximum et minimum sans  contraintes Exemple de propriétés en termes de concavité‐ convexité de différentes fonctions usuelles: • Fonctions affines • F Fonctions quadratiques i

valable sur Rn ou Cn : e e a e e o n x i yi ≤ x i=1 p y q o` 1 ≤ p ≤ +∞ et q est l’exposant conjugu´ de p d´fini par la relation 1/p + 1/q = 1 (avec u e e la convention 1/∞ = 0). Le cas p = q = 2 n’est autre que l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz. Le cas g´n´ral repose e e e e sur l’in´galit´ de Young1 : e e ∀(a, b) ∈ R+ × R+ , ab ≤ ap bq + · p q p En effet, si l’on ´carte les cas triviaux o` x ou y est nul, on peut diviser par x e u d’apr`s l’in´galit´ de Young : e e e ∀i ∈ {1, · · ·

4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Changement de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . 7.5 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Changement de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . 7.5 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

on peut ´crire (voir [ B.IV.1 ]) e B = ϕ(N) avec ϕ strictement croissante. N (xϕ(p) ) N (xϕ(p) ) Ainsi, ∀p ∈ N, 1 > > 0 et ϕ(p) − − +∞ donc −→ − − 0. −→ ϕ(p) N (xϕ(p) ) N (xϕ(p) ) p→∞ p→∞ Exemples : de comparaison de normes: voir [ 4.h ] ´ ´ `  Theoreme (Equivalence des normes en dimension finie) Toutes les normes sur un K-espace vectoriel de dimension finie E sont ´quivalentes. e D´monstration : e Si E = {0E }, il y a une seule norme sur E puisque N (0E ) = 0 pour toute norme. p Sinon, soit p

7.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Changement de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . 7.5 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il

E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes

de Riemann dépendant d’un paramètre 7.1 Théorème de convergence bornée . . . . . . . . . . . . 7.2 Continuité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . 7.3 Dérivabilité de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . 7.4 Cas où les bornes d’intégration dépendent du paramètre 7.5 Exercices sur le chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 7 . . . . . . . . . Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre 8.1 Théorème de convergence dominée . . . . . . . 8.2