Théorème de Pythagore

pour 100. (8%) (on applique une proportion de × 10) ACTIVITES GEOMETRIQUES 1) (voir figure en annexe pour impression sur calque éventuellement) 2) a) Calculons JK. Dans le triangle BJK rectangle en B (car ABCD est un carré) j'utilise le théorème de Pythagore JK2 = JB2 + BK2 JK2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18 donc JK =  18 ≈ 4,2 cm b) Non l'octogone n'est pas régulier car les côtés ne sont pas de la même longueur, en effet IJ = 3cm par exemple alors que JK ne mesure par 3cm. c) On obtient l'aire

81 + 144 = 225 2 2 2 Donc AC = AB + BC D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. b) Voir figure en fin d’exercice. 2. a) Voir figure en fin d’exercice b) Dans le triangle ABC, les points A, E, B d’une part et A, F, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. AF 5 1 AE 3 1 = = et = = On a de plus : AC 15 3 AB 9 3 AE AF Donc = AB AC D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles. AE 1 1 = donc

mineure, Milet se trouve sur la côte d’Asie mineure au sud. Cette ville de Milet est considérée comme le berceau de la philosophie. Parmi les raison qui ont fait connaitre Thalès, il y a le fait qu’il a prédit une éclipse du soleil en 584. Son théorème lui a été inspiré par une visite faite sur le site de Gizeh, il s’est aperçu que les trois pyramides de taille différentes avaient des ombres de taille différentes. Sur le plan de la constitution de la matière, c’est un philosophe moniste : il

92 10 Triangle rectangle et cercle circonscrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11 Distance – Tangente – Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12 Le théorème de Pythagore et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . 132 13 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 14 Cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle. . . . . . . . . . . 157 15 Pyramide – Cône de révolution

ENA EN AN = 9 × cos 60° = 4,5 cm b) On peut appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle EAN rectangle en A pour calculer EA : EA² = EN² - AN² 3 3ème A IE2 trigonométrie CORRECTION 2011-2012 sujet 1 EA² = 81 – 20,25 = 60,75 EA = 60,75 ≈ 7,8 cm Autre méthode utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle EAN: EA = 9 sin 60° 2) a) AR = RN – AN = 10,6 – 4,5 = 6,1 cm b) En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles ART et ENR (les droites (AT) et

PROPRIETE DE PYTHAGORE Rappel: Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Exemple : RST est un triangle rectangle en T donc le côté [RS] est l'hypoténuse 1. Propriété de Pythagore a) Enoncé Si un triangle est rectangle Alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit. Données ABC est un triangle rectangle en B Conclusion AC 2= AB 2+BC 2 Remarques importantes : La

(BC) est la médiatrice de [AE]. La droite (BC) est la médiatrice du segment [AE] donc le point E est le symétrique du point A par rapport à la droite (BC). Exercice II AB = 8 cm et AC = 4 cm. 1°) ABC est un triangle rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, on a : BC 2 = AB 2 + AC 2 BC 2 = AB 2 + AC 2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80 BC = 80 = 16 × 2 = 4 2 . 2°) BC = 4 2 cm AB 2 = BH × BC donc : BH = AB 2 82 64 16 16 × 5 16 5 16 5 16 5 = = = = = = . BH = cm 2 5 5 BC 4 5 4 5 5 5 × 5 ( 5)

Donc (AB) et (DC) sont parallèles. Et aussi : (AD) et (BC) sont parallèles. Théorème des milieux. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle. On sait que dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC]. D’après le théorème des milieux, on a donc : (IJ) et (BC) sont parallèles. Réciproque du théorème de Thalès. Soient d et d’ deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points

alors ses diagonales sont perpendiculaires (AC) ⊥ (BD) Réciproque du théorème de Pythagore (AC) ⊥ (BC) A B Définition C ABC = 90° d d’ Parallèles et perpendiculaires d’’ (d’)A// (d’’) et (d) ⊥(d’) d Médiatrice B Hauteur A Côtés consécutifs B D C ABCD est un rectangle A Diagonales D B C ABCD est un losange Réciproque du théorème de Pythagore B C A ABC triangle et AB²=AC²+BC² Hauteurs et orthocentre

segment et est perpendiculaire à ce segment alors c'est la médiatrice de ce segment. Triangle Théorème de Pythagore -Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Donc Si ABC est rectangle en A alors BC²=AB²+AC² Réciproque du théorème de Pythagore -Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres