Théorème de Pythagore

AB²=4+16 AC²=x²-2x+5 BC²=x²+2x+5 AB²=20 1.b) On veut trouver la valeur de x pour que AC²+BC²=AB² d’après le théorème de Pythagore. AC²+BC²=AB² x²-2x+5+x²+2x+5=20 2x²+10=20 2x²=10 x²=5 x= √(5) , x= -√(5) Les valeurs de x pour lesquels le triangle ABC est rectangle en C sont x= √5, x= -√5 2 .a) Pour factoriser x²-2x-15 on utilise deux identités remarquables :

Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus Triangles quelconques: théorème du Sinus et du Cosinus Introduction Tous les triangles quelconques peuvent être partagés en deux triangles rectangles. Au lieu de faire cette partition on peut gagner du temps en cherchant des formules qui simplifient le calcul dans les triangles quelconques. D’un triangle quelconque on connaît a, , . Cherche une formule pour calculer b. Essaie d’exprimer la solution sans utilisation de hc . D’un

rectangle obtenu est un rectangle d'or. Prouvons que cette construction aboutit bien à un rectangle d'or, c'est à dire que AF/AD est egal au nombre d'or. Notons a le coté du carré initial. On a alors EB=a/2= le nombre d'or En utilisant le théorème de Pythagore on a EC²=a²/4 +a²=5a²/4 et par suite EF=EC=racine de 5 multipliée par a, le tout divisé par 2 On a donc AF/AD = nombre d'or puisque AF/FD= [(a/2)+(a fois racine de 5 le tout divisé par 2)]/a=(1+ racine de 5)/2 LE PARTHENON : Le Parthénon

Correction du Devoir Maison Ch 4 : Théorème de Thalès Présentation : 1 point Rédaction : 1 point Exercice 1 (3 points) Sujet de Brevet des collèges Académies de Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse 2005 Sur le dessin ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, les points A, C, O, E sont alignés ainsi que les points B, D, O, F. (On ne demande pas de refaire le dessin) De plus, on donne les longueurs suivantes : CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, OB = 4,9 cm CD = 1,8 cm

SCALAIRE ® ® Exercice de motivation : ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et ( AB , AC ) = 70°. Problème : calculer BC. On ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n'est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se place dans une base orthonormée du plan. Soient u (x ; y)

motivation : ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et ( AB , AC ) = 4 A 70° 70°. Problème : calculer BC. 3 On ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n'est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en C généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 ® ® On se place dans une base orthonormée du plan

Calculer la mesure en degrés de l'angle . Donner la valeur arrondie au degré le plus proche. Correction : 1) [JK] est le plus grand côté. JK² = 8² = 64 IJ² + IK² = 4,8² + 6,4² = 23,04 + 40,96 = 64 Donc JK² = IJ² + IK² et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en I. 2) Comme on connaît les 3 longueurs, les 3 formules de trigonométrie peuvent être utilisées. Choisissons par exemple la tangente. Dans le triangle IJK rectangle en K : Exercice 2 : (Rennes 99) 1. Paul

THEME : THEOREME DE THALES Exercices corriges Exercice 1 : On sait que les droites (BC) et (MP) sont parallèles De plus, on a : AP = 4 AM = 5 et AC = 6 . Calculer AB. Correction : Dans les triangles ACB et APM • P ∈ [AC] • M ∈ [AB] • Les droites (PM) et (BC) sont parallèles ( hypothèse ) Donc, d’après le théorème de Thalès, nous avons : AB AC BC = = AM AP PM AB 6 BC Soit = = 5 4 PM Calcul de AB : AB 6 = 5 4 / 5× 6 5×3×2 15 Donc AB = = = = 7,5 / 4 2×2 2 AB = 7,5 Exercice 2 : Dans les

Pour les élèves de seconde. Correction des exercices 27-35-36-41-53-63-66-67 et 88 p242 et plus . Les autres exercices seront corrigés en classe. Ex 27 p. 244 Soit le triangle ABM . F milieu de BM   •  d’après le théorème de la droite des milieux, O milieu de BA  OF  //  AM  . On a:  donc BA est perpendiculaire à OF  . BA perpendiculaire à  AM   et O milieu de  AB   FO  est perpendiculaire à AB  en son milieu. FO  perpendiculaire à  AB    donc OF  est la médiatrice

Donc A3 = R2 − celle du secteur angulaire d’angle COO ' : A2 = π R2 π A 3) A= a) sin OCH = sin 30° = 1 donc 2 OH 1 1 = soit OH = a 3 . OC 2 2 HC 3 De même = cos30° = OC 2 3 3 donc HC = a 3 = a. 2 2 Enfin d’après le théorème de Pythagore dans le triangle HOA rectangle en H on a 2 a 2 3a 2 3  a 3 OA = HA + HO = ( HC − CA ) + HO =  a − a  +  + = a2 .  =  4 4 2   2   Ainsi OA = OC et donc le triangle AOC est isocèle. 2 2 2 2 2 2 b) L’angle dont a tourné le dispositif