Théorème de la bijection

que l’application φ: N n −→ → P 2n est une bijection. (Il y a donc ( autant ) d’entiers que d’entiers pairs !) ( ) Th´or`me 1.2 : Propri´t´s des compos´es e e e e e Soient f : E → F et g : F → G deux applications. – Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective ; – Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective ; – Si g ◦ f est injective, alors f est injective ; – Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective. Th´or`me 1.3 : Bijection r´ciproque e e e Soit f : E → F une application

N n φ: −→ → P 2n est une bijection. (Il y a donc ( autant ) d’entiers que d’entiers pairs !) ( ) Th´or`me 1.2 : Propri´t´s des compos´es e e e e e Soient f : E → F et g : F → G deux applications. – Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective ; – Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective ; – Si g ◦ f est injective, alors f est injective ; – Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective. Th´or`me 1.3 : Bijection r´ciproque e e e Soit f : E → F une

N n φ: −→ → P 2n est une bijection. (Il y a donc ( autant ) d’entiers que d’entiers pairs !) ( ) Th´or`me 1.2 : Propri´t´s des compos´es e e e e e Soient f : E → F et g : F → G deux applications. – Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective ; – Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective ; – Si g ◦ f est injective, alors f est injective ; – Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective. Th´or`me 1.3 : Bijection r´ciproque e e e Soit f : E → F une

valeurs interm´diaires). Celle propos´e ici est la moins alg´brique de toutes, et aussi la plus e e e e e e courte. On en trouvera quatre, dont la « nˆtre » est la plus courte, sur une seule des pages de [Rem91]. o ´ ` II.3. LES GRANDS THEOREMES SUR LES FONCTIONS HOLOMORPHES 37 D´monstration. Supposons que P soit un polynˆme sans racine. Alors 1/P est une fonction enti`re. e o e Montrons qu’elle est born´e. Si n est le degr´ de P , on a e e an−1 a0 P (z) = z n an + + ···

expérience a 2 éventualités. Elle est notée B(n,p). Son espérance est alors E(X) = np, sa variance V(X) = npq. B. Variables aléatoires dénombrables sur un univers infini 1. Loi de Poisson Une variable aléatoire dénombrable(c’est à dire établissant une bijection avec ¼) X suit une loi de k −m m Poisson de paramètre m (m > 0) sis et seulement si : p(X = k) = e . k! Son espérance est E(X)=m, sa variance V(X) = k. C. Variables aléatoires continues 1. Définition Une variable aléatoire continue est une variable

définition, de dérivée x → 1 x ln x . On en déduit, par l’inégalité des accroissements finis, que |ln(ln(n + 1)) − ln ln(n)| ≤ Il en découle : 0≤ un+1 un ≤ (n + 1)α n × exp α n n ln n × ln(n + 1) n+1 1 . n ln n On en déduit facilement, par les théorèmes de composition des limites et par le fait que ln(n+1)/(n+1) tend vers 0, que la limite de un+1 /un est nulle. Par la règle de d’Alembert, la série de terme général un est convergente. Exercice 3 - Développements limités - L2/Math Spé 1. Le terme

est un minorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A x < m + ε, c'est-à-dire que m + ε n'est pas un minorant. Remarque Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 8 Analyse en 30 fiches 1 Application Soit E la partie de R définie par : E = n− n+ 1 n 1 n ; n ∈ N∗ .

sont planaires. Il est facile d'en déduire que tout graphe qui contiendrait une subdivision de l'un des ces deux graphes comme sous-graphe n'est pas non plus planaire. Le théorème de Kuratowski arme que la réciproque est vraie. Mais ce théorème est assez délicat à prouver, nous ne ferons donc que le mentionner ici. Théorème 6 (Kuratowski  1930) Un graphe est planaire si et seulement s'il ne contient pas de subdivision de K3,3 ou de K5 . 2.1 Exercices Prouver que, pour un graphe planaire

f(x) = +∞. Si pour tout x ∈ I |f(x) - l| £ g(x) et si lim g(x) = 0 alors lim f(x) = l. Comparaison de limites Si pour tout x ∈ I f(x) £ g(x), si lim f(x) = l et lim g(x) = l' alors l £ l'. Théorème des gendarmes Si pour tout x ∈ I g(x) £ f(x) £ h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l , alors lim f(x) = l. Ce théorème est aussi valable pour une limite infinie. pas de résultat général 1/3 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes 2/3 Continuité - Dérivabilité Limite d'une composée

applications injective, surjective et bijective. Activité 7 Soit IR\{-1}→IR\{0} , x I→  > 1) a) Montre que f est une application. b) Montre que f est injective et surjective c) En déduire que f est bijective. d) Définir explicitement la bijection réciproque f-1 e) montre que fof-1(x)=x et f-1of(x) = x Activité 8 . Soit IR\{2}→IR\{5} , xI→ H>@I >@ 1) Montre que f est une application bijective. 2) Détermine l’image directe de l’intervalle E=[-3 ; 1] noté f([-3 ; 1]) Détermine l’image