Théorème de la bijection

L’objectif est cette fois de bâtir un raisonnement logique démontrant la correction du système vis-à-vis d’une propriété. Cette correction est donc exprimée comme un théorème mathématique dans un système de preuves. Des assistants automatiques fondés sur des règles de déduction sont ensuite utilisés pour faire la preuve de ce théorème. Cependant, un opérateur humain doit guider ces assistants lorsqu’ils ne parviennent pas à démontrer certains lemmes. Ainsi, le processus global n’est pas totalement

quand t décrit [0, +∞[, puis on obtient la courbe complète par symétrie centrale de centre O. 1 1/t3 t3 t 1/t • Pour t ∈]0, +∞[, M( ) = ( , )=( , ) = (y(t), x(t)) = sy=x (M(t)). Puisque la 4 1 + 1/t4 4 1 + t4 t 1 + 1/t 1+t 1 fonction t → réalise une bijection de [1, +∞[ sur ]0, 1], on étudie et on construit l’arc quand t décrit ]0, 1], puis t on obtient la courbe complète par réflexion d’axe la première bissectrice puis par symétrie centrale de centre O et enfin en plaçant le point M(0) = (0, 0).  

usuelles (4) TCL (5) Statistiques (6) La courbe en cloche, encore appelée Gaussienne, est une découverte du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855). On lui doit beaucoup de travaux sur les probabilités, notamment sur le Théorème Central Limite qui est le sujet principal de ce cours... Frédéric Naud, département de Mathématiques Probabilités et Statistiques L1 Introduction Dénombrements (1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles (4)

. . . . . . . 2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . 3 Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lois continues dérivant de la loi normale . . . . . . . . . 4.1 La loi du Chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 La loi de Fisher-Snédécor . . . . . . . . . . . . . . 4.3 La loi de

. . . . . . . . 1 1 1 7 13 17 22 25 30 35 35 52 69 82 92 101 117 Dérivation 129 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications

(6n − 1)(−1) ) n n    bn = 2an − n(−1)  25an + 5bn + cn = 5 35an + cn = 5n(−1)n + 5n ⇔ an − bn + cn = (−1)n ⇔ . c = 1 (5n + (−30n + 35)(−1)n )  n 36    −an + cn = −(n − 1)(−1)n −2an + bn = n(−1)n−1  1 bn = 36 (2 × 5n + (−24n − 2)(−1)n ) Le théorème de C AYLEY-H AMILTON fournit alors An = 1 (5n + (6n − 1)(−1)n )A2 + 2(5n − (12n + 1)(−1)n )A + (5n + (−30n + 35)(−1)n )I 36      1 2 2 9 8 8 1  n = (5 + (6n − 1)(−1)n )  8 9 8  + 2(5n − (12n + 1)(−1)n )  2 1 2  36 2 2 1 8 8 9   1 0 0

. . . . . . . . . . . . 2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . 3 Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lois continues dérivant de la loi normale . . . . . . . . . 4.1 La loi du Chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 La loi de Fisher-Snédécor . . . . . . . . . . . . . . 4.3 La loi de Student

sans biais 3. Risque d’un estimateur 4. Information de Fisher 5. Borne de Cramer-Rao (ou Fréchet-Darmois-Cramer-Rao) 6. Exercices Chapitre 6. Amélioration d’estimateurs 1. Statistique exhaustive 2. Statistique exhaustive minimale 3. Théorème de Rao-Blackwell 4. Théorème de Lehmann-Scheffé 5. Cas des familles exponentielles 6. Exercices Chapitre 7. Comportement asymptotique d’un estimateur 1. Normalité asymptotique 2. Estimateurs empiriques des moments 3. Estimateur du maximum de vraisemblance 4. La

angle égal (à savoir l'angle droit en O) compris entre deux côtés respectivement isométriques (puisque OA = OB = OC). Ces triangles sont donc isométriques. En conséquence : Le triangle ABC est équilatéral. (Évidemment, on pouvait aussi utiliser le théorème de Pythagore pour calculer AB, AC et BC) 2. Montrons l'orthogonalité des droites (OH) et (AB) : AB = AC = BC Première méthode : utilisation d'un raisonnement géométrique On constate que les points O, I et C sont équidistants de A et B. (OIC)

........................... 31 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume ....................................................................................... 31 Théorème de la divergence........................................................................................................................ 32 Théorème de l’intégrale nulle ................................................................................................................... 33 Expression générale d’une loi