Théorème de la bijection

coups) ; par contre, on a une stratégie gagnante évidente pour deux gendarmes en les faisant tourner dans le sens contraire ; si besoin, on peut formaliser : on note A0, . . . , A7 les sommets du graphe numérotés dans le sens trigonométrique, f la bijection Ap 7−→ Ap+1 mod 8 et on définit la stratégie des gendarmes : • κi = (A1, A8)V ; • pour toute position des gendarmes (v, γ1, γ2)G, ψ((v, γ1, γ2)G) = (v, f(γ1), f−1(γ2))G qui est gagnante. Le graphe G(i) est donc dans C2 mais pas dans C1. G(ii) est

vectoriel de dimension finie, alors 2 Chap. 1. Espaces vectoriels et Applications linéaires 1) E admet une base ; 2) toutes les bases de E ont même cardinal appelé dimension de E ; 3) toute famille libre peut être complétée en une base de E (théorème de la base incomplète). ◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et soit F une famille de n éléments de E. Les trois propositions suivantes sont équivalentes : 1) F est une famille libre de E ; 2) F est une famille génératrice de E

cônes (de sommet O) polyédriques de dimension 1 à n. L'ensemble des °(f, P), pour tout f∈ P , donne une partition de ên\ 0 , formée de cônes polyédriques ouverts. N F Propriété 7 : Etant donné un polytope P, l'application qui à f associe une bijection entre (P) et les cellules du faisceau de normales (P): F N A chaque i-face de P correspond une (n-i)-cellule de n-1. (Voir figures 6 et 7) N(f, P) est N (P); pour i = 0,..., Propriété 8 : Soient f et g deux faces d'un polytope P. Si f est incluse

. . . . . . . . . . . . . 4 Bases, dimension et sous-espaces 4.1 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Familles libres, liées, génératrices, bases . . . . . 4.1.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . 4.1.3 Théorème de la base incomplète et conséquences 4.1.4 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . 4.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité . 4.2.1 Somme et intersection de deux

3° Racines d’une fonction polynôme Soit P une fonction polynôme de degré n, n ≥ 1. a - Définition Une racine (ou zéro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0. Déterminer les racines de P revient alors à résoudre l’équation P(x) = 0. b - Théorème Si le nombre réel a est une racine de P , on peut factoriser P (polynôme de degré n) par (x-a), c’est-à-dire qu’il existe une fonction polynôme Q de degré (n-1) telle que pour tout réel x, P(x) = (x-a) Q(x). II. TRINOME 1° Définitions Un trinôme

on peut ´crire (voir [ B.IV.1 ]) e B = ϕ(N) avec ϕ strictement croissante. N (xϕ(p) ) N (xϕ(p) ) Ainsi, ∀p ∈ N, 1 > > 0 et ϕ(p) − − +∞ donc −→ − − 0. −→ ϕ(p) N (xϕ(p) ) N (xϕ(p) ) p→∞ p→∞ Exemples : de comparaison de normes: voir [ 4.h ] ´ ´ `  Theoreme (Equivalence des normes en dimension finie) Toutes les normes sur un K-espace vectoriel de dimension finie E sont ´quivalentes. e D´monstration : e Si E = {0E }, il y a une seule norme sur E puisque N (0E ) = 0 pour toute norme. p Sinon, soit p

fonctionnelle de E dans F. Propriétés : Réflexive, Antiréflexive, Symétrique, Antisymétrique, Transitive. Application, Injective, Surjective. Nouvelles définitions : Relation d'équivalence dans E, Relation d'ordre dans E. Application de E dans F, Bijection de E sur F. 4.1 Relation binaire dans un ensemble, équivalence, ordre : Une relation binaire R dans l'ensemble E peut être : Réflexive ∀x ∈ E xRx 7 Module Théorie des Langages Antiréflexive Symétrique Antisymétrique Transitive {x ∈E /xRx}=∅

difficulté de la traduction. Si l'exercice de la traduction est un exercice difficile, c'est que les langues ne sont pas de simples répertoires, où chaque mot désignerait un objet et un seul. La relation entre les mots et les choses n'est pas une simple bijection - un mot pour chaque chose, et une chose pour chaque mot. Si c'était le cas, la traduction ne poserait aucune difficulté: elle consisterait en une simple opération de substitution. Chaque langue serait comme un répertoire, équivalente et substituable

X ∩ f −1 ( f (A)) = ∅. 4. Soient X et Y ∈ S . Montrer que X et Y \ X appartienent à S . 5. Montrer que l’application S → P( f (E)), A → f (A) est une bijection. [002896] Exercice 2897 Conjugaison Soit E un ensemble et f : E → E bijective. La conjugaison par f est l’application Φ f : E E → E E , φ → f ◦ φ ◦ f −1 1. Montrer que Φ f est une bijection de E E . 2. Simplifier Φ f ◦ Φg . 3. Simplifier Φ f (φ ) ◦ Φ f (ψ). 4. Soient I , S , les sous-ensembles de E E constitués des injections et des surjections

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . .