Théorème de la bijection

. . . . . 1 1 4 5 7 8 10 10 11 11 CHAPITRE II. Fonctions holomorphes II.1. Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . . . II.3. Séries de Laurent et Théorème de l’application ouverte . II.4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de réels :  = {(a, b) Î  ´ } Les éléments de  sont appelés des nombres complexes. Comme il n'est pas pratique de travailler avec des couples (notations un peu lourdes), nous allons voir (théorème 2.2.) que l'on peut noter les éléments de  de manière commode et faciliter ainsi les calculs. 2.2. Théorème L'ensemble  peut être muni de deux lois + et ´ qui prolongent les lois + et ´ de . L'ensemble  contient "une copie" de . Il existe dans  un élément, noté i, tel que i 2 = -1. Tout élément

l'aire de deux rectangles, de largeur (t - t0) et de hauteurs respectives 1 1 et : t t0 t - t0 t - t0  S(t) - S(t0)  t t0 On a donc : S (t ) - S (t 0 ) 1 1   t t - t0 t0 En passant à la limite lorsque t tend vers t0, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que l'accroissement moyen S (t ) - S (t 0 ) 1 admet une limite en t0 égal à , la fonction S est donc dérivable à droite en t0. t - t0 t0 Cas 2 : t  t0. Un raisonnement analogue à ci-dessus montre que S

f est nul. ∂x2 ∂y 2 [ 01778 ] Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Corrections 6 Corrections Exercice 1 : Soit (α, β) solution. Considérons f (x, y) = α+β Exercice 6 : xα y β x+y sur (R+ )2 . Par le théorème des accroissements nis, il existe cx,y ∈ 0, x2 + y 2 tel que F (x, y) = f (c). Quand (x, y) → (0, 0) alors cx,y → 0 puis F (x, y) → f (0). f (x, x) = x 2x . f bornée implique α + β = 1. Inversement, supposons α + β = 1. α 1−α y y x Si y x alors

4 cos 2 cos x sin 2 . π  π  5°) 4 sin x sin  3 ─ x sin  3 + x = sin 3x.     10 Calculs de limites EXERCICE 14 Limite d’une fonction en x0 Justifier les limites suivantes (en utilisant les limites de références du cours et les théorèmes sur les opérations sur les limites finies) : 3x + 1 1°) lim (x3 ─ 3x + 5) = 3. 2°) lim (2x² + x ─ 2) = ─ 1. 3°) lim x ─ 3 = ─ 7. x→1 x→─ 1 x→2 x─1 1 2x² + x ─ 7 5 4°) lim x² + 1 = . 5°) lim = ─ 1. 6°) lim (3 sin x + 1) = . x² + 3 5 2 π x→3 x→1 x→

codage/décodage ou aux autres traitements numériques • Consommation si puissance de calcul importante 15 Rappel : Numérisation d’un signal analogique • Échantillonnage : discrétisation en temps pas de perte d’information (respect du théorème d’échantillonnage Fech ≥ 2.fmax ) • Quantification : discrétisation en amplitude, par approximation à la valeur la plus proche parmi Q niveaux de quantification. perte irréversible d’information (distorsion, bruit de quantification) Exemple

est une chaîne de Markov de distribution initiale λ et de matrice de transition P = [pi,j ] si • X0 a pour distribution initiale λ, i.e. P(X0 = i) = λi , • le probabilité que Xn+1 = j sachant que Xn = i est pi,j , i.e. P(Xn+1 = j|Xn = i) = pi,j . Théorème 12. (Propriété de Markov) Si (Xn )n∈N est une chaîne de Markov de distribution initiale λ et de matrice de transition P , alors conditionnellement à Xn0 = i, (Xn0 +n )n∈N est une chaîne de Markov, de distribution initiale δi et de matrice de transition

n s'appelle le degré du polynôme. On note n=deg(f). Propriété : Deux fonctions polynômes sont égales lorsqu'elles ont le même degré et les mêmes coefficients. Racine d'un polynôme : Le nombre a est appelé racine d’un polynôme f lorsque f(a) = 0. Théorème : a est une racine du polynôme f si et seulement si il existe un polynôme g tel que f  x  =  x − a  g  x  . Dans ce cas deg(g) = deg(f) – 1 = n−1 On dit aussi que le polynôme f  x  est factorisable par  x− a  n− 1 Pour déterminer le

1[) : x Î ]-¥, 0[ Þ x < 0 Þ j(x) > j(0) Þ j(x) > 0 Þ j(x) ¹ 0 x = 0 Þ j(x) = 0 x Î ]0, 1[ Þ 0 < x < 1 Þ j(0) < j(x) < j(1) Þ 0 < j(x) Þ j(x) ¹ 0 La seule solution de l'équation j(x) = 0 sur ]-¥, 1[ est bien x = 0. Sur [1, +¥[, on applique le théorème de bijection : · j est continue (car dérivable) sur [1, +¥[. · j est strictement décroissante sur [1, +¥[ · j(1) = 3e-1 - 1 > 0 (car 3 > e) et lim j(x) = -1 < 0 x ® +¥ En conséquence, il existe un unique réel a dans [1, +¥[ tel que j(a) = 0 En effectuant

Soit X un ensemble fini d’ensembles. Alors, il existe une fonction de choix sur X. D´monstration. Soit n le cardinal de X qui est donc en bijection avec ]0, n]. e Montrons, par induction sur n que X poss`de une fonction de choix. e 7 Pour n = 1, X = x = ∅. Donc, il existe un y ∈ X tel que f (x) = y ∈ X. Soit n > 1. Consid´rons h : [1, n + 1] −→ X une bijection. Posons X = e X\h(n + 1). Par l’hypoth`se d’induction, il existe une fonction de choix e f : X −→ x∈X x : x −→ f (x) ∈ x. Soit z = ∅ tel