Théorème de la bijection

une chaîne de Markov de distribution initiale λ et de matrice de transition P = [pi,j ] si • X0 a pour distribution initiale λ, i.e. P(X0 = i) = λi , • le probabilité que Xn+1 = j sachant que Xn = i est pi,j , i.e. P(Xn+1 = j|Xn = i) = pi,j . Théorème 12. (Propriété de Markov) Si (Xn )n∈N est une chaîne de Markov de distribution initiale λ et de matrice de transition P , alors conditionnellement à Xn0 = i, (Xn0 +n )n∈N est une chaîne de Markov, de distribution initiale δi et de matrice de transition

impair, ;xPn+1 est impair (produit de Pn+1 pair et de x impair) tout comme Pn . et donc par recurrence, pour tout n, Pn a la parite de n. 2. a) Si x 2 ;2 2] x 2 ;1 1], et il existe un unique 2 0 ] tel que 2 x = 2 cos , puisque la fonction cos est une bijection de 0 ] sur ;1 1]. On a alors P0 = 1 P1 ( ) = ;2 cos et pour tout n 0 : Pn+2 (2 cos ) = ;2 cos Pn+1 (2 cos ) ; Pn (2 cos ) Solution : 46 ESCP 99 - Oral Ceci est une relation de recurrence lineaire d'ordre 2, dont l'equation caracteristique

). b) Déterminer la limite de un+1 − un . Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 22 octobre 2012 Corrections Exercice 7 : [énoncé] On a un vn n0 , un < m et un , vn 1 Par le théorème d’encadrement on obtient lim un = lim vn = 1 9 Corrections Exercice 1 : [énoncé] Posons m = + . On a un → < m et donc ∃n0 ∈ N, ∀n 2 ∃n1 ∈ N, ∀n n1 , vn > m. Pour tout n max(n0 , n1 ) on a un < m < vn . Exercice 2 : [énoncé] Si (un ) est

Sourisse) Th´ eo 20.2. Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires Soit I un intervalle de R et f : I ! R une fonction continue. Alors f (I) est un intervalle. D´ ef 20.4. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I ` a valeurs dans J. f est une bijection de I dans J si et seulement si tout ´el´ement de l’espace d’arriv´ee J poss`ede un unique ant´ec´edent par f dans l’ensemble de d´epart I. Autrement dit : Rem. Il existe des fonctions non-continues telle que, pour I intervalle de R, f (I) reste

familier pour ne pas en présenter quelques propriétés caractéristiques avant d’aborder l’ensemble des nombres complexes. On trouvera en annexe une idée de construction de l’ensemble des nombres réel 1 . Certaines définitions de ce chapitre seraient des théorèmes si notre ambition était une construction de l’ensemble des nombres complexes à partir de l’ensemble des nombres réels ; cependant, cette ambition ne serait pas conforme à l’esprit du programme 2 . 1.1 1.1.1 L’ensemble C des nombres complexes

. . . . . . . . . . . . 1.1.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . 1.1.3 Espaces de Thom . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Complexes et paires de Poincaré . . . . . . 1.1.5 Application de transfert . . . . . . . . . . . 1.2 Quelques théorèmes d’existence de plongements . . 1.2.1 Plongement en grande codimension . . . . . 1.2.2 Plongement de Poincaré . . . . . . . . . . . 1.3 Quelques conditions nécessaires . . . . . . . . . . . 1.3.1 Obstruction rationnelle à l’immersion . . . . 1.3.2

'(x) = 3x² – 12x = 3x (x – 4) a pour racines 0 et 4 , et est positif à l'extérieur de ces racines. Donc f '(x) < 0 sur [ 0 ; 4 ] ⇒ f strictement décroissante sur [ 0 ; 4 ] f(0) = 6 { f(4) = –26 ⇒ 0 est entre f(0) et f(–26) On conclut avec le théorème de la bijection. Avec la fonction TABLE de la calculatrice, on obtient 1,107 < α < 1,108 . π . (Utiliser la calculatrice pour développer) 3 3 3 3 1 1 1 z' = e–iπ/3 (z – i) + i ⇔ z' = ( – i ) (z – i) + i ⇔ z' = ( – i )z– + i 2 2 2 2 2 2 0,1 2.3. Soit un réel

Apprendre Les concours se préparent sur deux ans. Il est essentiel que les candidats aient fourni un travail régulier afin que les notions soient parfaitement acquises et que les automatismes soient bien en place. On ne peut utiliser à bon escient les théorèmes, définitions et propriétés que si on les connaît parfaitement c’est-à-dire si on en connaît les hypothèses et les conclusions. Un travail de « par cœur » est une composante fondamentale de l’activité mathématique. La constitution d’un formulaire personnel

Toutefois, nous laissons le soin au lecteur de vérifier que presque toujours, les conclusions des propositions demeurent, même si ces suites ne sont supposées satisfaire leurs hypothèses qu’à partir d’un rang N ∈ N arbitrairement fixé. IV.1. Le théorème des gendarmes Notre premier résultat va nous montrer que la notion de limite est compatible avec la relation d’ordre, dans le cas de suites réelles. Proposition 22.26. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles convergentes. Si, pour tout n ∈

f(x) = +∞. Si pour tout x ∈ I |f(x) - l| £ g(x) et si lim g(x) = 0 alors lim f(x) = l. Comparaison de limites Si pour tout x ∈ I f(x) £ g(x), si lim f(x) = l et lim g(x) = l' alors l £ l'. Théorème des gendarmes Si pour tout x ∈ I g(x) £ f(x) £ h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l , alors lim f(x) = l. Ce théorème est aussi valable pour une limite infinie. Limite d'un inverse Si g ou (vn) a pour limite Alors 1 ou  1  a pour limite g vn l' ≠ 0 1 l' par valeurs inférieures 0 par valeurs