Tangente

La solution de l’équation différentielle vérifiant les conditions initiales f(0) = ‐4 et f’(0) = ‐4  est : f(x) = ex(4x² ‐4)  B.  1. a. f(x) est de la forme u×v avec u = 4x² ‐4 et v = ex  donc f’(x) = u’×v + u×v’ = 8xex + (4x² ‐4) ex = ex(4x² +8x ‐4) = 4(x² + 2x ‐1)ex  b. la tangente est parallèle à l’axe des abscisses lorsque f’(x) = 0 donc lorsque le polynôme  du seconde degré x² + 2x ‐1 s’annule. Les racines de ce polynôme sont   (‐1+√2) ≈ 0,41 et (‐1+√2) ≈ ‐2,41  2. a. Le développement limité, à l’ordre 2, de la fonction x 

particulier la physique. – k t – k t k k Ainsi v’(t) + m v(t) = m × vl (e m + 1 – e m ) ρ k = m × vl = g 1 – ρ . s ( ) Donc v est solution de (1). Par ailleurs, v(0) = vl (1 – e0) = 0. c) v’(0) = vl × k × e0 = vl × k . m m L’équation de la tangente à la courbe de v en O est k y = v’(0) × x soit y = vl × m × x. Pour trouver τ, on résout le système y = vl k y = vl × m × x. m k Ainsi m × τ = 1 d’où τ = . k d) t ≈ 0,015 s. 3 Activités d’approche (page 40) 3.1. Étude d’une particule dans

risqués ayant le ratio de Sharpe le plus élevé (« portefeuille tangent »). Exemple : Frontière régulière : =21,62 %±0,7479   2 −13,59%2 espérance 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% n ro F sin re tiè g re liè u Fro re uliè ég re r ntiè µ centre: 0 21,62% portef var min 13,59% 21,62% portef tangent 16,22% 28,23% pente asymptote : 0,7479 pente frontière singulière : 1,3708 J-B Desquilbet σ Portefeuille tangent rf = 6% 0% -10% -20% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% écart-type

|d et C n'ont pas de point commun | |d est tangente à C en un point | |[pic] | |[pic] | 3ème cas : OH < R d est sécante à C en deux points [pic] Définition La tangente d en H à un cercle de centre O est la droite perpendiculaire en H au rayon [OH]. OH

désignent deux constantes. On sait que : • Les points A(0 ; 2) et D(2 ; 0) appartiennent à la courbe C f . • La tangente à la courbe C f au point A est parallèle à l’axe des abscisses. On note f ′ la fonction dérivée de f , définie sur R. 1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et f ′ (0). • Puisque le point D(2 ; 0) appartiennent à la courbe C f on a f (2) = 0 ; • La tangente à la courbe C f au point A(0 ; 2) est parallèle à l’axe des abscisses, donc f ′ (0) = 0 . 2. Calculer f

Conjecturer également la position relative de par rapport à . , f ( x)  g ( x)  et . 2 x 2  3 x  2 . x 1 2. a) Montrer que, pour tout x de 3. b) Démontrer alors les conjectures du 1.a) et 1.b) a) Déterminer une équation de la tangente T à au point d’abscisse 2. b) Vérifier à l’aide de la calculatrice. Exercice 4 (sur 6 points) : Une entreprise de travaux publics a en charge la construction d'une route avec franchissement d'une rivière en raccordant deux tronçons rectilignes

methode : Placer le pt (0;p) puis utiliser m pour placer les pts suivants. &gt; Dérivés et Applications o NOMBRE DERIVE Si une fonction f est derivable en a, Cf admet une tangente en a. f’(a) est le coefficient directeur de la tangente L’equation de la tangente est y=f’(a)(x-a)+f(a) Rque : si f’(a)=0, la tangente est horizontale o FONCTIONS DERIVEES Une fonction est derivable sur I ssi elle admet un nombre derivé à tout x de I. La fonction derivée est notée f’. o FORMULES f(x)

concavité du côté du centre de la Terre puisque, en général, la densité de l’air, et donc son indice de réfraction, croissent quand l’altitude diminue. Dans le plan STO, l’observateur perçoit ainsi la source S relevée en S' dans la direction de la tangente en O au rayon lumineux. L’angle de réfraction terrestre de la source vue de l’observateur désigne l’écart angulaire entre la direction OS' et la direction OS. En vertu du principe du retour inverse la lumière, le rayon lumineux émanant de O et aboutissant

la représentation graphique de la fonction C ainsi que les tracés des tangentes à la courbe aux points A et B d’abscisses respectives x A = 4 et x B = 9 . Lire sur le graphique une valeur approchée des nombres dérivés C ' ( x A ) , C ' ( x B ) ( à 0,1 près). EXEL f2 ; g5 Académie de Nancy-Metz 1° série STG Avril 2005 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Coût total tangente en A tangente en B 2. En déduire le coût marginal pour une production de 4 unités

Coniques 3.0 Diagonalisation des endomorphismes symétriques 3.1 Equations d'une conique 3.2 Intersection d'une droite et d'une conique 3.2.1 Cas d'une ellipse ou d'une hyperbole 3.2.2 Cas d'une parabole 3.2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole 3.2.4 Points d'ou l'on mène une tangente 3.3. Foyers et directrices 3.4. Propriétés bifocales 3.5 Engendrement de coniques à l'aide de cercles 3.6 Coniques et cônes de révolution : le théorème d'Apollonius Cours du 19/09/06 ================= 1. Géométrie