Tangente

points équidistants de F et de H. L’égalité AF 2 = AH 2 , pour A de coordonnées (x, y), se traduit en (x − p/2)2 + y 2 = (x + p/2)2 + (y − t)2 ⇐⇒ −2px + 2yt − t2 = 0. On reconnait l’équation de la tangente au point M . http://www.bibmath.net 5 Exercices - Coniques : corrigé 2. Puisque la tangente en M est la médiatrice de [F H], les demi-droites [HF ) et (M, N ) −→ − − → −→ − − sont parallèles. On en déduit que les angles (M I, N ) et (HM , HF ) sont égaux, ainsi −→ − → − − → −→ − − que les

−1 = −1 − 1 − 1 − =− −1 + ℎ −1 + ℎ −1 + ℎ − + D’où : = − −1 + ℎ + −1 + ℎ − 1 = − 1 − 2ℎ + ℎ − 1 + ℎ − 1 = −1 + 2ℎ − ℎ² − 1 + ℎ − 1 = − ²+ − = ² = ² = ² = = − + . Lorsque ℎ tend vers 0, le taux de variation − est : 2. La tangente lim → tend vers le nombre réel 3 : est dérivable en − et le nombre dérivé de en en − = = 3 ; Ce qui signifie que la fonction . à la courbe C au point d’abscisse − a pour coefficient directeur le nombre dérivé de − , c’est-à-dire

admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l’annexe. Partie B Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes. On note D l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe C f au point A d’abscisse a et tangente à la courbe C g au point B d’abscisse b. 1. a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A. b. Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe

tracer la tangente au graphe de f en x A , comme le montre la figure 5. Dans la mesure où la tangente est une bonne approximation de f au voisinage de ( x A , f ( x A )) . Sa pente, devrait être une bonne mesure de la pente de la fonction f en x A . Remarquons que pour des fonctions non linéaires, la pente de la tangente varie d’un point à l’autre (cf. figure 5). y C A f ’ ( xC ) xA xB xC x y=f(x) B Fig.5. Pente et dérivée Mais au fait, c'est quoi une tangente ? La tangente

. . . . . . . . . . . . 8 2.7 Analyse : définition de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.8 Analyse : graphe de la dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.9 Analyse : dérivée et équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.10 Analyse : factorisation de dérivées (avec les règles) . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.11 Analyse : la règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.12 Analyse : comportement

par : f(x) = (x - 1)e2x, alors : a. [pic]= x e2x b. f(x) = −( c. L’équation f(x) = 1 admet dans IR une solution unique. B. Si x ≥ −2 alors ex ≥ . C. Les courbes représentatives des fonctions x ( 2ex/2 – 1 et x ( ex ont la même tangente au point A(0 ; 1) D. Pour tous réels a et b, ea+b = Pour tous réels a et b (non nul), [pic] Il existe un réel a et un réel b tels que e2a + e2b < 2ea+b Exercice 2 (4 points). A. Soit (un) une suite définie sur IN et (vn)

être utilisées en mathématiques à partir de 1637 grâce à Descartes (d’où l’adjectif « cartésien ») et à Fermat. Vers 1680, Newton et Leibniz créent le calcul différentiel (autre nom de ce qui deviendra la dérivation) qui permet d’étudier les tangentes à une courbe moins simple que le cercle ou la parabole, de travailler avec la notion de vitesse instantanée et d’aborder des calculs avec des différences qui deviennent très proches de 0 (h = x − a dans nos exemples ci-dessus). L’acquisition

fonction définie sur ℝ* par f ( x)  1 . x On donne ci-contre l’hyperbole H représentant  dans un repère orthonormé.  est la tangente à H au point d’abscisse 1. 1. Lire graphiquement f '(1) . Expliquer. 2. En revenant à la définition, démontrer que  est dérivable en tout réel a de ℝ* et donner f '(a) . 3. a. Donner une équation de la tangente T à H au point A d’abscisse 2. b. Etudier la position de H par rapport à T. c. Construire T. d. Déterminer les coordonnées de B point

1 http ://www.maths-france.fr La fonction tangente Valeurs usuelles x en radians tan(x) 0 0 π = 0, 52 . . . 6 1 √ = 0, 57 . . . 3 π = 0, 78 . . . 4 1 π = 1, 04 . . . 3 √ 3 = 1, 73 . . . π = 1, 57 . . . 2 ∞ Représentation graphique de la fonction tangente 4 3 2 1 −2π −7 −6 −5 − 3π 2 −4 −π −3 −π 2 −2 −1 −1 −2 −3 −4 1 π 2 π 2 3 4 3π 2 5 6 2π 7 π + kπ, k ∈ Z}, π-périodique et impaire. 2 1 • La fonction tangente est dérivable sur D et pour tout réel x ∈ D, tan ′ (x)

à droite » pour D dVb dans le menu « coordonnées »). -À l'aide de l'outil réticule, repérer pour quelle valeur de VB la dérivée est maximale. On obtient alors une première valeur du volume équivalent VBéquiv. - À l’aide de l’outil « Tangente », méthode des tangentes (avec clic), cliquer sur un point de la courbe situé avant l’équivalence, déterminer les coordonnées ( VBéquiv ;.pHéquiv ) du point d’équivalence E. 5) Comparer les valeurs du volume équivalent VBéquiv obtenues par les deux méthodes,