Tangente

dérivation à bon escient. • Il faudra montrer aux élèves le lien entre les deux expressions • On fera des activités sur l'approximation affine. • • On donnera une continue en x0 . interprétation cinématique 2) InterprŽtation et économique. gŽomŽtrique • · Tangente à une courbe en • Théorèmes : Soit f une un point fonction dérivable à 3) Nombre dŽrivŽ ˆ gauche , gauche et à droite en x0 : nombre dŽrivŽ ˆ droite • 1) Si les nombres dérivés à · Définition, théorèmes, gauche et à droite sont égaux interprétation

dit singulier ou stationnaire sinon. Propri´t´. e e vecteur de coordonn´es e  x1 pt0 q¨ y 1 t0 $ 0, La tangente ` la courbe en un point r´gulier est dirig´e par le vecteur f I pt0 q, c’est-`-dire le a e e a x  t2   1 . y  t3   t   1 Montrer que cette courbe est r´guli`re en tous ses points, et d´terminer les coordonn´es du point de param`tre e e e e e 1, ainsi que la tangente en ce point. Exemple. Soit la courbe param´tr´e par : e e p q. 5 2.3 Branches infinies D´finition.

droite (D) d'équation y = 2x + 4 est asymptote à (C) puis étudier la position      relative  de (C) par rapport à (D) lorsque  3) Calculer f'(x) puis en déduire que, pour tout    4) Dresser le tableau de variation de f   5) Donne une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1 6) a) Montrer que f réalise une bijection de  sur un intervalle J à préciser.          En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique    b) On note  la bijection réciproque de f. Calculer 

Remarques  Pour 1) les solutions sont conjuguées donc les coefficients de l’équation sont réels. 2)a ) 3) b) 4) b). Leur produit est égal à 2    Pour 2), n'hésitez pas à représenter les points dans un repère orthonormé. Pour 3), f(0) = 0 donc la tangente passe par le point O. Il n’y a que b). Pour 4) , Faites très attention. Il s’agit de la courbe de la dérivée de f. Donc,on doit déduire le signe de f’(x). Exercice 2 1) a)  1 lim f ( x)  lim ( x ²  1  2 ln x)  . car lim ln x  . x0

représentent les nombres trouvés dans cette activité ? Rep : coefficient directeur de la tangente. 6. Notion de fonction dérivée Quel lien y a t-il entre les valeurs trouvées et la valeur de t ? On revient sur notre première feuille de calcul pour faire le tableau (et le graphique ?) 7 Complément Le dossier tangente et dérivée permet de reprendre d'une manière purement formelle la construction d'une courbe et d'une tangente variable à cette courbe en un point donné. 3/3 

par g(x) = 3 x. On note (D) sa représentation graphique. 1) Calculer la dérivée f0 de f. 2) Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe (f ) au point d’abscisse x0 = 2. 3) Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x). 4) Préciser les coordonnées des points d’intersections

variations de f et donner son tableau de variation. 4°) Démontrer que f() = (1 + 2e-) 5°) Démontrer que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à (C) en . Préciser la position de (C) par rapport à . 6°) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0. 7°) Tracer , T puis (C). CORRECTION DEVOIR Problème Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire 1°) On sait que  (x2 - 2x + 2) =  x2 =  et  e-x =  e X =  Donc  (x2 - 2x +

b. 131 c. 132 d. 133 3. . Le trinôme a deux racines 2 et -3. Alors peut être égal à a. b. c. d. 4. On donne et . La fonction est définie par a. b. c. d. 5. On donne . L’équation de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse 1 est a. b. c. d. 6. Une augmentation de 30% suivie d’une diminution de 10% correspondent à une augmentation de a. 15% b. 16% c. 17% d. 18% Exercice 3 : (2

(bulles), mais aussi à la mise en place de l’éprouvette dans l’appareil, une phase de consolidation primaire pendant laquelle la surpression interstitielle se dissipe et revient à 0 après un temps noté t100 correspondant au point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'inflexion C1 et C2 de la courbe et une phase de compression dite « secondaire » qui est due au fluage du squelette des particules de sol (Fig.11.2) ('v= cte et u = 0).

lim ε(x) = 0. x→0 2. Une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 est donnée par la partie affine du développement limité de f au voisinage de 0. Alors, ici, T a pour équation : y = 2 − x. 3. Pour la position relative de (C) et (T ) au voisinage de 0, il faut étudier le signe de f (x) − (2 − x) = x3 + x3 ε(x), 6 x3 au voisinage de 0. 6 • Pour x < 0, f (x) − (2 − x) < 0 : la courbe (C) est en dessous de la tangente (T ), • Pour x = 0, (T ) et C sont sécantes