Tangente

de définition. Interpréter graphiquement les résultats obtenus. 3. Dresser le tableau de variations de ݂. 4. Soit ሺ‫ܥ‬ሻ la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. Déterminer une équation des tangentes à ሺ‫ܥ‬ሻ aux points d’abscisses −2; −1; 0; 2 et 7. Tracer ces tangentes, les asymptotes et la courbe ሺ‫ܥ‬ሻ. ‫ݔ‬ଶ − 3 . ‫2−ݔ‬ On désigne par ሺ‫ܥ‬ሻ la courbe représentative de ݂ dans un repère orthonormal. 1. Déterminer les réels ܽ, ܾ et ܿ vérifiant pour tout ‫: 2 ≠ ݔ‬ ܿ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ

CTRL et ALT. Rappel : l'Outil Plume fonctionne avec le principe des tangeantes (souvenez vous de vos cours de géométrie). Les points que vous verrez apparaitre en cliquant-glissant à la suite d'un point supplémentaire représente la direction des 2 tangentes de la courbe. Le point d'inflexion étant le point que vous aurez aposé. 3. Recentrons nous sur une petite partie de l'image pour commencer. Travaillons sur la partie interne blanche du bras situé à gauche de l'image. Je vous montre ici la technique

+ ex. On appelle C sa représentation graphique dans un repère orthonormé → → (O ; i , j ) (unité graphique : 1 cm). 1. Déterminer la limite de f en +∞ et en –∞. 2. Etudier les variations de f. 3. Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente T à C a pour coefficient directeur 3. 4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique α. Donner un encadrement de α d’amplitude 10-2. Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x. 5. Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote

dérivée la fonction f. Laquelle ? (justifier la réponse) II) Vrai ou Faux. Les courbes ci-contre représentent une fonction f dérivable sur -2, 2 en trait continu et sa fonction dérivée f’ en pointillé. a) f'0=12 b) La droite D:y=x+1 est tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0. c) Il existe un réel c∈-1, 1 tel que f'c=1. Exercice 2 : En utilisant la notion de dérivée, déterminer les limites suivantes : a) limx→0x+4-2x b) limx→0sinxx

strictement positif, calculer A k = g 1 (k) − g 1 (0). Calculer lim (A k ). k→+∞ Partie B : Propriétés graphiques On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C 2 , C a et C b où a et b sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à C b au point O origine du repère. 0,6 T 0,4 C2 Cb 0,2 Ca −0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1 . Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes C k passent par un même point. 2 . (a) Montrer que pour tout

2) Application f est la fonction définie sur par et C sa courbe représentation graphique dans un repère. a) Déterminer la fonction dérivée de f. b) Déterminer une équation de la tangente T2 à C au point d’abscisse 2. c) Déterminer la position relative de C et de T2 Exercice 2 : (10 points) Justifier que f est dérivable sur I et déterminer la fonction dérivée de f dans les cas suivants : 1) (I = IR ) 2) ( I = ]0 ;

10 objets est de 60€ b) On trace la droite d’équation y =150. la courbe C est située en dessous de la droite d’équation y =150 sur l’intervalle [ 0 ; 18.5] Donc, on peut produire au maximum 18 objets pour un cout total inférieur à 150 €. 2. a) La tangente au point d’abscisse 14 a pour coefficient directeur 10, comme le coefficient directeur est égal au nombre dérivé qui représente le cout marginal, alors, f ′(14) = g (14) = 10 Le coût marginal est défini par Cm ( q) = C ( q + 1) − C ( q) , donc Cm

f '  x=− 2 x f '  x puis dressez le tableau des variation de f . b) Etudiez le signe de 1 1 3) a) Calculez f et f ' et en déduire l'équation de la tangente à Cf au point e e 1 d'abscisse . On notera T cette tangente. e b) Calculez f e  et f ' e et en déduire l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse e . On notera T ' cette tangente. 4) Placez dans un repère les informations recueillies dans les questions précédentes. On prendra pour échelle 3cm (ou 3 grands carreaux) pour 1unité sur

On a : x−2=2;−4x )=0) )) donc : −4x )) )=+õ. On peut en déduire, que le coefficient directeur de la tangente à C au point M lorsque x tend vers 4, a pour limite +õ. Autrement dit, la courbe C admet une tangente verticale au point de coordonnées . Compte tenu de la symétrie de C par rapport à la droite d'équation x=2, on peut dire que C admet également une tangente verticale au point de coordonnées . 6. a) Démontrer que pour tout réel x>4 : f(x)−x=−4x )+x) ).

= lim h→0 h=0 f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim . x→a h x−a x=a y (Cf ) M f (a + h) hε(h) t A f (a) j 1.2 a a+h x f ′ (a) est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe de f . Équation de la tangente (At) : La tangente à la courbe de f en A a pour équation : y = f ′ (a)(x − a) + f (a). ∗ Université f (a + h) − f (a) i O Remarque : hf ′ (a) de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 1 ♣ 1.3 Exemples