Système linéaire

Espaces vectoriels et applications lin´aires e 1 D´finitions e On parle d’espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les d´finitions sont les e mˆmes en substituant R ` C ou vice versa. e a D´finition 1.1. Un espace vectoriel sur R (resp. sur C) est un ensemble E muni de deux e op´rations. e D’abord d’une addition, c’est ` dire qu’` tout couple v, w ∈ E on peut associer v + w ∈ E a a tel que les r`gles de calcul ordinaires dans Rn (resp. Cn ) aient lieu. A savoir e

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

directeur. Le coefficient p est appelé ordonnée à l’origine. Remarques : 1. Le nombre p est appelé ordonnée à l’origine car f (0) = p. 2. — Si m = 0 : f (x) = p, on obtient une fonction constante ; — Si p = 0 : f (x) = mx, on obtient une fonction linéaire. Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie sur R par f (x) = mx + p est la droite D d’équation y = mx + p. Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; p). Remarque : Pour tracer une droite, il suffit d’avoir deux

Planche no 1. Algèbre linéaire I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace

|[pic] | | | | | | | | | | | | |

2 m = masse, v = vitesse on mesure m = 9.5 ± 1.8 kg, v = 7.35 ± 0.23 m/s ! #E #E v2 "E = "m + "v = "m + mv"v #m #v 2 "E "m "v 1.8 0.23 = +2 = +2 = 0.25 = 25% E m v 9.5 7.35 E = 257 ± 65 kg m2/s2 TP de Physique Générale - EPFL 9 ! Régression linéaire (1) On mesure deux séries de grandeurs xi et yi . Existe-t-il une fonction y = f(x) qui traduit une relation entre le deux grandeurs? Exemple: droite de régression y = ax + b pour la quelle l'incertitude sur les xi est négligeable, et l'incertitude

Ricco Rakotomalala Econométrie La régression linéaire simple et multiple Version 1.0 Université Lumière Lyon 2 Page: 1 job: econometrie_regression macro: svmono.cls date/time: 7-Jun-2011/18:10 Page: 2 job: econometrie_regression macro: svmono.cls date/time: 7-Jun-2011/18:10 Avant-propos Lorsqu'on m'a demandé si je voulais assurer le cours d'économétrie en Licence L3-IDS (http://dis. univ-lyon2.fr/), j'ai ressenti une grande joie mais aussi une certaine inquiétude

b) On cherche x tel que f(x) = 1 donc tel que 3x + 5 = 1. 4 Donc 3x = – 4 et x = – . 3 a) Faux b) Vrai c) Faux Une fonction affine est définie sur ‫ ޒ‬par f(x) = ax + b avec a et b dans ‫.ޒ‬ Une fonction linéaire est définie sur ‫ ޒ‬par f(x) = ax. Donc f est affine, g est linéaire, h est affine et ᐉ est affine car ᐉ(x) = x2 + 10x + 25 – x2 – 4x – 4 = 6x + 21. a) f(5) – f(1) = 2 × 5 – 3 – (2 × 1 – 3) f(5) – f(1) = 10 – 3 – 2 + 3 f(5) – f(1) = 8 f(5) – f(1) étant positif, f(5) est supérieur

d’un repère orthogonal d’unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 20 adhérents sur l’axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série  xi , yi  2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Interpréter le résultat 3. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent (les coefficients seront arrondis à l’unité).

nul et noté On . 1 Définition . Soit n  N et X , X 1 , X 2 ,..., X P  R n . On dit que X est une combinaison linéaire de X 1 ,..., X p s’ils existent 1 ,...,  p tels que p X  1 X 1  2 X 2  ...   p X P ( X   i X i ). i 1 Exemples. 1) (2, -11) est une combinaison linéaire de (1, 2) ; (0, -5) car : (2, -11)=2(1, 2)+3(0,-5). 2) (-1, -4, -3) est une combinaison linéaire de (1, 2, -3) ; 2(1, 1, 0) ; (1, 2, 0) car (-1, -4, -3)= (1, 2, -3)+2(1, 1, 0)-4(1, 2, 0). II. Sous espace vectoriel