Somme des diviseurs

Simplifier les expressions suivantes 1. − x 5x−1 − x x1/2 x3/2 = − = − 5 5x−1 5x−1 2. 2x2 (x4 )3 2x2 2x2 2 = = 10 4 3 12 (x ) x x 6. Quelques identités remarquables – Carré d’une somme ou d’une différence : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 – Différence de carrés : x2 − a2 = (x − a)(x + a) – Cube d’une somme ou d’une différence : (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 – Différence de cubes : x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2 ) 5 7. Les fonctions 7.1. Définitions

elle est symbolisée par le signe . Exemple : Total | Prix | Somme | Nom | 256 | | | | 256 | 256 | | | 256 | 256 | 262 | | 256 | 256 | 262 | Durand | 263 | 256 | 262 | Durand | Total 256 Prix Total Somme Total + 6 Nom ‘Durand’ Total Somme + 1 256 256 262 Durand Total Prix Somme Nom Total | Prix | Somme | Nom | 256 | | | | | 256 | | | | | 262 | |

Xcas au lycée Renée De Graeve & Bernard Parisse Université de Grenoble I Xcas, au départ un logiciel de calcul formel, permet aujourd’hui de faire de l’algorithmique, de la géométrie interactive et analytique dans le plan et l’espace et propose un tableur formel, d’où son nom de “couteau suisse des mathématiques”. Il s’agit d’un logiciel libre, disponible sous Windows, Mac OS et Linux, la version à jour se récupère en tapant xcas sur un moteur de recherche ou directement depuis le site de Xcas

. . . . . . . . . . . . . Les sous-groupes de 21 21 22 23 24 26 27 28 28 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diviseurs, nombres premiers L'algorithme d'Euclide Plus grand commun diviseur ou pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plus

3 2+1 1 A RITHMÉTIQUE Diviseur, multiple Soient a et b deux nombres entiers positifs non nuls. On dira que a est un diviseur de b, ou que b est divisible par a, ou encore que b est un multiple de a s’il existe un nombre entier k tel que b = k × a Exemples : • 15 est un multiple de 3 (car 15 = 5 × 3) • 42 est divisible par 7 Critères de divisibilité • Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 2, 4, 6, 8 ou 0. • Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple

57 3 2+1 1 A RITHMÉTIQUE Diviseur, multiple Soient a et b deux nombres entiers positifs non nuls. On dira que a est un diviseur de b, ou que b est divisible par a, ou encore que b est un multiple de a s’il existe un nombre entier k tel que b = k × a Exemples : • 15 est un multiple de 3 (car 15 = 5 × 3) • 42 est divisible par 7 Critères de divisibilité • Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 2, 4, 6, 8 ou 0. • Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple

· + a1 x + a0 = 0, alors on en déduit u(an un−1 + · · · + a1 ) = −a0 . Si les coefficients an , . . . ,a0 et u sont des nombes entiers, cela signifie que u est un diviseur du terme constant a0 . Donc si une équation polynomiale à coefficients entiers possède des solutions en nombres entiers, celles-ci sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant du polynôme. Exemple 1. Soit l’équation (1) x3 − 4x2 − 7x + 10 = 0, dont on cherche toutes les solutions réelles. On pose P (x) = x3 − 4x2 − 7x

l'autre terme directement dessus. Précisons. Une fois le premier terme placé sur le soroban, les unités du deuxième terme s'ajoutera au premier terme, ensuite les dizaines, puis les centaines,... A là fin de tous ses déplacements, on obtiendra la somme de l'addition. Prenons 2 exemples pour illustrer le tout : « Additionnons 9 + 7 =16 On affichera 9, une boule quinaire et 4 boules unitaires sur le colonne des unités. Pour ajouter 7, on ajoutera 10 et enlèvera 3 c-à-d que l'on montera une boule

a, b, c des nombres naturels tels que a divise b2 , b divise c2 et c divise a2 . Montrer que abc divise a7 + b 7 + c 7 . Exemple de solution. Clairement a est un diviseur de a, car tout nombre naturel se divise lui-mˆme. D’un e 2 autre cˆt´, par hypoth`se, c est un diviseur de a . Nous allons maintenant montrer oe e que b est un diviseur de a4 . Puisque c divise a2 , c2 doit diviser (a2 )2 = a4 . Mais nous savons que b divise c2 donc b divise aussi a4 . Finalement cela implique que a·b·c divise a

sont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) ∈ K[X]}. Le PGCD de A et B est l’unique polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C’est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A et B deux polynômes non nuls. A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. Théorème. Deux polynômes non