Série dérivée

Cours sur les suites Généralités Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique est une fonction nommée u : IN → IR L'image d'un entier n est notée u(n) u(n) est appelé le terme général de la suite Le terme de rang n+1 est noté u(n+1) 2) Suites définies par une fonction Si f est une fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ , on peut lui associer la suite u(n) de terme général u(n)=f(n). les points de coordonnées (n,u(n)) appartiennent à la courbe d'équation

Fonction dérivée et fonctions primitives 1. Fonction dérivée Si une fonction f est définie et dérivable pour tout réel a d’un intervalle I, alors f est dérivable sur cet intervalle. La fonction qui à tout réel a associe, s’il existe, le nombre dérivé f ′ ( a ) est la fonction dérivée notée f ′ de la fonction f. La fonction f ′ est telle que : f ′ : I → . x f ′(x) La fonction f ′ est aussi appelée dérivée première de f. Si la fonction f ′ est dérivable sur un intervalle I, sa dérivée est la dérivée seconde

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons

convergente. n! zn Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C. Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série Théorème 23.2 1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. 2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle réelle. Pour cette raison, on note, pour tout nombre complexe z, ez la somme de la série qui définit ainsi la fonction exponentielle complexe. zn

d’éléments de K (K = R ou C). On appelle série de terme général un , notée un , la suite (Sp )p∈N définie par : p ∀p ∈ N Sp = un . n=0 Pour tout p dans N, Sp est la somme partielle de rang p de la série. Ainsi la série un est dite convergente si et seulement si la suite (Sp )p∈N converge, auquel cas sa limite S est la somme de la série ; on écrit alors : p ∞ S= un = lim p→∞ n=0 un n=0 et l’on appelle reste de rang p de la série la différence Rp = S − Sp . La série un est dite divergente lorsque la

.................... 1    En combinant les concepts de dérivée première et seconde, il est maintenant possible  de tracer le graphe d'une fonction avec une précision surprenante : la dérivée première  représente  la  pente  d'une  fonction  et  permet  de  déterminer  la  croissance  ou  la  décroissance de celle‐ci ; les points stationnaires et critiques permettent d'obtenir des  minima et des maxima locaux (sinon absolus) ; la dérivée seconde décrit la courbure de  la fonction.     Il  est  primordial 

Des mathématiciens écrivent : [pic]. Cela s'appelle décomposition en fraction continue de (. Peut-on justifier cette écriture à l'aide des questions précédentes? C) Expression de ( comme somme d'une série On considère la série de terme général [pic]. On note Sn la somme partielle de cette série : [pic]. 1) Montrer que [pic]. 2) En déduire que [pic]. 3) Préciser la limite de la suite [pic]. 4) Comment expliqueriez-vous à un élève de terminale scientifique l’expression suivante de ( :

uniquement avec les données de 2000-2009). Cette possibilité sera traitée plus loin. Sélectionner la plage contenant les données (c'est le plus simple) Insertion>Diagramme... ou icône « Diagramme » La création se fait en 4 étapes, la troisième (Série de données) permet de se limiter à une partie des données. diagrammes1 page -4- Etape 1 : Type de diagramme Choisir le type et le sous-type souhaités; selon le type choisi, il y a certaines options (3D, lignes lisses, séries empilées

Exercices Exercices 1 Sujet A 1. Soit U la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison 3. (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 50 Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1 . 2 (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 100 Sujet A Sujet B 1.

Algorithme de calcul d'une valeur approchée de ∏ par somme de 100 termes de la série ∏ 1 1 1 1 1 --- = --- - --- + --- - --- + --- - … 4 1 3 5 7 9 EX3 : Utiliser la notion d'invariant de boucle pour déduire l'algorithme pour calculer N!. EX4 : Soit la série harmonique 1 1 1 1 1 1 + --- + --- + --- + --- + … + --- + … 2 3 4 5 I Cette série diverge pour i assez grand. On souhaite calculer le nombre minimum N de termes de cette série pour dépasser une valeur arbitraire V donnée. 1 1 1 1 1 1 1 1 + --- + ---