Série dérivée

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012 Enoncés Exercice 7 [ 03310 ] [correction] an z n une série entière de rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n 1 Séries entières Rayon et domaine de convergence Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1 n 0 nn 3n z n! Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+

cours d’une succession d’appels indépendants. Y suit donc la loi géométrique G(1/4), c’est-à-dire que, pour k ≥ 1, 1 3 k−1 P (U = k) = × . 4 4 On applique la formule du cours pour obtenir l’espérance (on on calcule simplement la somme d’une série géométrique), et on trouve que E(U ) = 4. Exercice 7 - Le concierge - L2/Prépa Hec Notons pk la probabilité que la porte soit ouverte au k-ième essai et Vk l’événement "la porte n’est pas ouverte après le k-ième essai". On a pk = P (Vkc ∩ Vk−1

Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins

compris celle figurant dans les programmes accessoires de Windows, permettent de choisir l'unité employée pour exprimer les angles. Le tableur Excel fonctionne aussi en radians. Si on exprime les fonctions trigonométriques par un développement en série du type : sin ϑ = ϑ − cos ϑ = 1 − ϑ3 3! + + ϑ5 5! − − ϑ7 7! + … = ∑ ( −1) n=0 ∞ ∞ n ( 2n + 1)! ( 2n ) ! ϑ 2n ϑ 2 n +1 ϑ 2 ϑ 4 ϑ 6 2! 4! 6! + … = ∑ ( −1) n =0 n l'expression

partielles. La dérivé partielle est la dérivé d’une fonction par rapport à une variable. U= la fonction d’utilité Deux biens X et Y * U=f(X,Y) * La dérivée partielle est dU/dx et va permettre de mesurer l’impact de la variation de x sur U * (d=variation très petite de la quantité consommé de bien X) * dU/dY est l’impact d’une variation de Y sur l’utilité totale 2.1.3 Taux marginal de substitution

figure). Quelle est l’image de la droite ∆ par l’application ( = ) Problème: On considère la suite (Un) définie pour = ≥ par : I Soit f la fonction définie par sur ] +∞[ par : 3 EAMAC/DE/BS = − + − − 1 ) Calculer la dérivée f’ de f et vérifier que, pour tout x dans ] +∞[ , on a : ′ = − − 2 ) Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 1. 3 ) Montrer que la limite de f(x), quand x tend vers +∞ est égale à 0. 4 ) Dresser le tableau de variation de f sur ] +∞[

formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 17151, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. De manière plus précise, soit : * I un intervalle de ℝ et a un élément de I, * E un espace vectoriel normé, * f une fonction de I dans E qui soit dérivable en a jusqu’à l’ordre n (un entier naturel). Alors, pour

linéarise le système d’équations non linéaires en faisant intervenir les puissances au lieu des courants. Les équations (5) et (6) sont linéarisées autour d’un point de fonctionnement avec injections de puissances Po et Qo, au moyen de développement en série de Taylor du premier ordre sous la forme : P = Po + ∑ +∑ (7) P = Qo + ∑ +∑ (8) Comme ΔP = P – Po et forme matricielle s’écrit : Mada-ENELSA Volume 1,2013 ΔQ = Q – Qo , la ( ) ( ) avec (J) = ( ) est la matrice jacobienne. Algorithme :

On considère la série de fonctions numériques de la variable réelle x, de terme général un (x) = a) Etudier la convergence de cette série. On définit la fonction f : R → R par : +∞ pour tout réel x, f(x) = n=1 cos(nx) . n2 b) Montrer que f est continue sur R, paire et 2π-périodique. π c) Calculer l’intégrale : I = 0 f(x) dx. π d) Calculer, pour p ∈ N∗ , l’intégrale Ip : 0 +∞ f(x) cos(px) dx. e) La série cos(nx) est-elle le développement en série de Fourier de f

Corrigé, BAC Pondichéry 2011 Exercice 1. 1. p ( R ∩ V ) = 0.4 × 0.8 = 0.32 : réponse a. 2. p (V ) = 0.4 × 0.8 + 0.6 × 0.3 = 0.5 : réponse d. 3. pR (V ) = 0.7 : réponse b. p ( R ∩V ) p (V ) 0.8 0.4 0.6 0.2 0.3 0.7 4. pV ( R ) = Exercice 2. : réponse a. A1. Entre 2010 et 2015, le taux global d’évolution des annuités est donné par t = 1 24000 − 15000 = 0.6 soit 60%. 15000 A2. Le taux d’évolution annule moyen est donné par 1.6 5 − 1 ≈ 9.86% donc il n’est pas de 12%. A3. La formule