Repère affine

est un système libre. f est bijective si et seulement si (x1, ..., xp) est une base de E. PROPOSITION Soit f linéaire de E dans F et b élément de F. Alors l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = b ou bien est vide ou bien est un sous-espace affine de direction le noyau de f. Démonstration : Si l'ensemble des solutions est non vide, soit x0 une solution particulière. L'énoncé affirme que l'ensemble des solutions est de la forme x0 + Kerf = {x0 + z, z ∈ Kerf}, ce qui est facile à vérifier. Cette

Fiche résumé : VECTEURS , COORDONNEES 2nd 1) Définitions: Vecteur : défini par une direction, un sens, et une distance. F B D [pic] Tous les couples de points (A,B) ; (C,D) et (E,F) représentent le même vecteur. E A = Origine du vecteur [pic] ; B = extrémité du vecteur [pic] . A C Rq : [pic] = vecteur nul ; distance AB = [pic] norme du vecteur [pic] 2) Egalité vectorielle : On dit que deux vecteurs sont égaux

x 2 ) Le graphe de cette fonction ( dans l’espace) peut être évoqué par les coubes de niveau. Une courbe de niveau est un ensemble de points situés à l’intersection d’une surface de l’espace et d’un plan ( plan de coupe parallèle à un plan du repère ) . × maximum local : niveaux décroissan ts → Les courbes de niveau sont concentriques avec valeurs de plus en plus élevées vers le centre × minimum local : niveaux croissants → Les courbes de niveau sont concentriques avec valeurs

quand il s'agit d'affirmer que . Mais on peut toutefois s'intéresser à une écriture possible du théorème de Thalès et sa justification grâce aux opérations vectorielles. Ce qui pourrait permettre de généraliser le théorème de Thalès à tout espace affine euclidien associé à un espace vectoriel. Dire que D est sur (AB) c'est écrire qu'il existe un réel x tel que . De même, dire que E est sur (AC), c'est écrire qu'il existe un réel y tel que . Enfin, dire que les droites (ED) et (BC) sont parallèles

Vecteurs : Résumé de cours et méthodes 1 Egalité de deux vecteurs − → −→ Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme. B A D C 2 Relation de Chasles − → − → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − → − → − → − → − → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − AC + 2CB − AB = AC + CB

Fonctions affines Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche :      Exercice 1 : antécédent, image, résolution d’équation, représentation graphique d’une fonction affine (coefficient directeur et ordonnée à l’origine d’une droite) Exercice 2 : détermination d’une fonction affine, taux d’accroissement Exercice 3 : fonction affine par intervalles (par morceaux) Exercice 4 : sens de variation d’une fonction affine Exercice 5 : signe d’un binôme , inéquation du premier degré

CALCUL D’UNE FONCTION AFFINE : Définition : Une fonction affine associe à tout nombre x le nombre ax + b où a et b sont deux nombres fixés. On la note f(x) = ax + b ou x a : ax +b. On dit que f(x) est l’image de x par la fonction affine f. Exemples : On choisit la fonction affine suivante :f(x) = - 2x + 5   Calcul d’image :      f(0) = -2 X 0 + 5 = 5 donc  0 a pour image 5 par la fonction f.     f(1) = -2 X 1 + 5 = 3 donc 1 a pour image 3 par la fonction f.   Recherche d'antécédent

Fonctions linéaires et fonctions affines FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES 1) Fonctions linéaires a) Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ? Définition On appelle fonction linéaire de coefficient a la fonction définie de la manière suivante : f : x  ax . Exemple La fonction linéaire de coefficient 3 est la fonction f : x  3x . L'image de 4 est 12. 18 a pour antécédent 6. b) Représentation graphique d'une fonction linéaire Propriété Dans un repère, la représentation graphique d'une

=24−4 x . 2 2 b) f ( 2 ) =4×2=8 et g ( 2 )=24−8=16 9 g ( x ) =15⇔ 24−4 x=15⇔ 9=4 x ⇔ x= =2 , 25 ; 4 f ( x ) =g ( x ) ⇔ 4 x=24−4 x ⇔ 24=8 x ⇔ x =3 Exercice 3 (en bonus) défi 1 : (difficile ....souvent fait mais mal expliqué ) f est une fonction affine donc de la forme f ( x ) =ax+b ; • f ( 1 )=a×1+b=a+b et f ( 2 ) =a×2+b=2 a+b et d'après l'énoncé on a f ( 1 )⩽ f ( 2 ) • soit a+b⩽2 a+b soit 0⩽a . f ( 3 ) =a×3+b=3 a+b et f ( 4 )=a×4+b=4 a+b et d'après l'énoncé on a f ( 3 ) ⩾ f ( 4 ) • soit 3 a+b⩾4

COURS SECONDE LES FONCTIONS AFFINES 1. Définition On considère deux réels a et b. La fonction f définie sur par f(x) = ax + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d'équation y = ax + b. Le nombre a s'appelle le coefficient directeur de la droite. Le nombre b est l'ordonnée à l'origine : la droite passe par le point de coordonnées (0 ; b). Exemple : f(x) = 2x – 5 . Pour représenter la fonction f, on choisit deux valeurs de x , on calcule leur image