COURS

SECONDE

LES FONCTIONS AFFINES

1. Définition
On considère deux réels a et b. La fonction f définie sur par f(x) = ax + b est appelée fonction affine.
Sa représentation graphique est la droite d'équation y = ax + b.
Le nombre a s'appelle le coefficient directeur de la droite.
Le nombre b est l'ordonnée à l'origine : la droite passe par le point de coordonnées (0 ; b).
Exemple : f(x) = 2x – 5 .
Pour représenter la fonction f, on choisit deux valeurs de x , on calcule leur image, on place les deux points dans un repère du plan et on trace la droite passant par ces deux points.
Si x = 0, f(0) = – 5 ; la droite passe par le point A(0 ; – 5 ).
Si x = 2, f(2) = 4 – 5 = – 1 ; la droite passe par le point B(2 ; – 1 ).
Cas particuliers :
Si b = 0, la fonction est dite linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
Si a = 0, la fonction est constante. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Caractérisation : les fonctions affines sont les fonctions dont les accroissements des images sont proportionnels aux accroissements des valeurs de x. En effet, soit u et v deux nombres réels distincts.
Alors

f u f v u v

=

au b av b au av a u v
=
= u v u v u v

2. Sens de variation
Propriété : Soit f la fonction affine définie sur
Si a > 0, la fonction f est croissante sur .
Si a = 0, la fonction f est constante sur .
Si a < 0, la fonction f est décroissante sur .

= a qui est une constante.

par f(x) = ax + b.

Démonstration :
Considérons deux réels u et v tels que u < v .
Alors f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = au – av = a(u – v).
Comme u < v alors u – v < 0.
Ainsi, si a > 0, f(u) – f(v) < 0, donc f(u) < f(v) ; la fonction f conserve l'ordre et la fonction f est croissante.
Si a = 0, f(u) = f(v) et la fonction f est constante.
Si a < 0, f(u) – f(v) > 0, donc f(u) > f(v) ; la fonction f inverse l'ordre et la fonction f est décroissante.
Exemple