Relation de Chasles

SVersion corrigée Fiche d’exercices Produit scalaire Page 2 sur 13 6 (Utiliser la bilinéarité du produit scalaire) Soient ABCD un carré de côté 2 et de centre O. Cal- culer les produits scalaires suivants. Lorsque nécessaire, on pourra utiliser la relation de Chasles et/ou la bilinéarité du produit scalaire. 1. −−−→ DC · −−→DB 2. −−→ AB · −−−→ AD 3. −−→ AB · −−→ CA 4. −−−→ CD · −−→BD 5. −−→ AC · −−→BD 6. −−−→ OC · −−−→ DA B D C A 2 O Solution : On peut remarquer dans un premier temps qu’en utilisant le théorème

2.2 1 a e x Relations exp / ln Les fonctions ln et exp sont r´ciproques l’une de l’autre : e ln(ex ) = x pour tout x ∈ R, exp(ln x) = x pour tout x > 0. On peut aussi l’exprimer par y = ex ⇐⇒ x = ln y pour tout x ∈ R et y ∈ R∗ . Remarque 3 Les fonctions loga . En biologie, chimie ou physique, on utilise parfois des logarithmes loga de base a o` a est un u r´el strictement positif (par exemple a = 10). Ce logarithme est d´fini par la relation suivante : e e y = ax

original ( O ; i ; j ) et → → par des lettres majuscules les coordonnées dans le nouveau repère ( A ; i ; j ). 15 → → → → Ainsi M ( x ; y ) dans le repère ( O ; i ; j ) et M ( X ; Y ) dans le nouveau repère ( A ; i ; j ). D ‘après la relation de Chasles , on a : → → → OM = OA + AM ⇔ → → → → → → x i+ y j = 2 i+5 j+ X i+ Y j ⇔ x = 2 + X : ce sont les formules du changement de repère .  y = 5 + Y 5x + 3 En remplaçant dans y = , on trouve Y=13/X : c’est l’équation d’une hyperbole

mathématicien, physicien et philosophe français. Il introduit la géométrie analytique en remarquant que tout point du plan est déterminé par ses distances algébriques aux axes de coordonnées. Il est à l’origine de la notion d’équation d’une courbe, relation qui lie les coordonnées des points de celle-ci. Il rationalise également l’utilisation des lettres en mathématiques : il choisit celles du début de l’alphabet pour les quantités connues et celles de la fin de l’alphabet pour les inconnues. Freddy

. . . . . . . . . . . . 4.2.1 notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Int´egrale d’une fonction continue sur [a,b] . . . . . . . 4.3 propri´et´es de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 relation de chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Lin´earit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Cas des fonction paires ou impaires sur I . . . . . . . . 4.3.4 Autre propi´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’inégalité précédente pour conclure sur la variation de (v n ). c) Appliquer un théorème de convergence. Partie B 1 Calculer wn+1 − wn . 2 Puisque la suite (wn ) est arithmétique, exprimer wn en fonction de n, puis v n en fonction de n en utilisant la relation entre v n et wn . 3 Deux méthodes possibles : on recherche d’abord la limite de wn puis celle de v n , ou on fait tendre n vers +∞ dans v n . 39 Maths Term S Le corrigé Partie A 1 L’algorithme n° 1 calcule tous les termes de v 0 à v n mais

Si les élèves connaissent les propriétés géométriques de la parabole, on peut aussi définir le centre de 2 comme le point d’intersection de la droite (AC) avec la parabole de foyer I et de directrice (CD). Une autre possibilité est d’utiliser la relation r1 + r2 = 2 − 2 pour déterminer la distance IG. d. Voici les affichages obtenus sur GeoGebra et sur Geoplan : Le point T semble se déplacer sur une parabole, ce qui laisse penser que l’aire totale, exprimée en fonction de r1 est un polynôme du second

publication massive de traductions des contes d’Hoffmann et la mode qui en découle, détournent Balzac d'un genre qu’il estime galvaudé[92]. Dans un article paru dans la Caricature le 16 février 1832, il sait gré aux auteurs des Contes bruns, ( Philarète Chasles et Charles Rabou ), de n’avoir pas utilisé le mot « fantastique » : « programme malsain d’un genre qu’on a déjà trop usé par l’abus du nom seulement ». Balzac invente un fantastique nouveau, non pas comme genre littéraire, mais comme l’apparition

au moins un couple (u, v) solution du système (*). u+v=S b. Soit (u, v) tel que ' uv = P alors, on a de façon équivalente : v=S–u v=S–u ) puis ' 2 . u (S – u) = P u – Su + P = 0 On en déduit alors que u, (tout comme v) satisfait la relation « X 2 – SX + P = 0 ». 2. La réciproque est immédiate, sachant le résultat sur la somme et le produit des racines de l’équation X 2 – SX + P = 0 . 3. Le système admet au moins une solution si, et seulement si, l’équation X 2 – SX + P = 0 admet

Si les élèves connaissent les propriétés géométriques de la parabole, on peut aussi définir le centre de Ꮿ2 comme le point d’intersection de la droite (AC) avec la parabole de foyer I et de directrice (CD). Une autre possibilité est d’utiliser la relation r1 + r2 = 2 − 2 pour déterminer la distance IG. ● d. Voici les affichages obtenus sur GeoGebra et sur Geoplan : Le point T semble se déplacer sur une parabole, ce qui laisse penser que l’aire totale, exprimée en fonction de r1 est un polynôme du