Projection orthogonale

autour d’axes orient´s s’exprimant tr`s e e e → → → − − − simplement avec ( i , j , k ). 12 ´ Enonc´s - Pb 3 : Rotations, angles d’Euler, quaternions e → − − → → − → Soit θ l’´cart angulaire entre k et k1 . Il existe un unique vecteur unitaire − orthogonal ` k e u a → − → − → − − et k1 tel que k1 = r→,θ ( k ). On notera u − r1 = r→,θ u → − → − Soit ϕ l’unique r´el dans [0, 2π[ tel que − = r→,ϕ ( i ). On notera e u k − r2 = r→,ϕ k → − → → u Soit ψ l’unique r´el dans [0, 2π[ tel que i1 = r−

associée . . . . . . . . 11.1.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Familles orthogonales et familles orthonormales 11.2 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Produits scalaires et matrices . . . . . . . . . . . 11.3 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Supplémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Application

´quation est i ui = 0, elle ˆ b e e e signifie que les param`tres doivent ˆtre tels que les r´sidus estim´s sont de moyenne e e e e nulle. La seconde condition s’´crit quant a elle i xi ui = 0, elle implique que xi et e ` ˆ les r´sidus estim´s sont orthogonaux (cov(xi , ui) = 0). e e ˆ Apr`s quelques r´arrangements, on obtient : e e a = y − ˆx ˆ ¯ b¯ ¯ ¯ (yi − y )(xi − x) ˆ = = b 2 (xi − x) ¯ x y y¯ yi xi − n¯x cov(yi , xi ) = 2 2 xi − n¯ x var(xi ) i i avec x = n i et y = n i . ¯ ¯ a est tel que

celle qui donnera la perspective la plus simple compatible avec le résultat à obtenir. Perspective cavalière : Page 15 sur 30 Perspective axonométrique : La perspective axonométrique est une PROJECTION ORTHOGONALE de l’objet sur un plan oblique par rapport aux faces principales de l’objet La projection de ces faces n’est donc pas en vraie grandeur. - Perspectives isométriques : Les grands axes des ellipses sont respectivement perpendiculaires aux arêtes a, b et c (par exemple l’axe AA’ est

une matrice de projection orthogonale. avec e = Y- Y On a e = (I- X(X’X)-1X’)Y = (I- X(X’X)-1X’)(Xa+ε) = Xa+ε - X(X’X)-1X’(Xa+ε) = Xa +ε - X(X’X)-1X’Xa - X(X’X)-1X’ε = Xa +ε – Xa - X(X’X)-1X’ε = (I - X(X’X)-1X’)ε = Mε où M est une matrice de projection orthogonale. On obtient : E(e) = E(Mε) = ME(ε) = 0 car E(ε) = 0. Var(e) = E[(e-E(e))(e-E(e)’)]= E(e.e’) car E(e)=0 = E(Mε.ε'M’) = M E(εε’)M’ = M Var(ε) M’ = σ2ε MM’ = σ2ε M² car M est une matrice de projection orthogonale, on a alors M’=

194 1,29 99,046 15 0,143 0,954 100 1,696 11,308 48,482 Extraction Method: Principal Component Analysis. Fait par les auteurs (XLSTAT) Nous voyons que le premier axe explique 37,17% de la variance et le deuxième axe en explique 11,3%. La projection dans le premier plan factoriel explique donc environ 50% de la variance. Le tableau ci-dessous présente les coordonnées des variables dans les deux axes : Tableau12 : Coordonnées des variables Coordonnées des variables 1er axe 2ème axe Complet

plongement lisse si et seulement si l’une des deux propositions suivantes est satisfaite : 1. le rang est métastable (i.e. k > m 2 + 1) ; 2. la fibration sphérique A → X est homotopiquement équivalente, en tant que fibration, à un fibré en sphères orthogonal. Ce théorème ramène donc la question de l’existence d’un plongement lisse à une question purement homotopique. Cependant ce théorème est difficilement applicable en toute généralité. En effet, la construction d’un complémentaire est un problème qui

semaines 1. Introduction générale, 2. Polynôme de Lagrange, 3. Polynômes de Newton. Chapitre 3 : Approximation de fonction : 2 semaines 1. Méthode d’approximation et moyenne quadratique. 2. Systèmes orthogonaux ou pseudo-Orthogonaux. Approximation par des polynômes orthogonaux, 3. Approximation trigonométrique. Chapitre 4 : Intégration numérique 2 semaines 1. Introduction générale, 2. Méthode du trapèze, 3. Méthode de Simpson, 4. Formules de quadrature. Chapitre 5 :

que la projection orthogonale de la valeur réelle sur un axe perpendiculaire au rayon terrestre. Il donc nécessaire de relever l'angle entre la composante horizontale et la direction réelle du champ afin de pouvoir calculer la valeur réelle de B en ce point avec les règles de trigonométrie suivantes : ainsi : Puisque l'aiguille d'une boussole s'aligne toujours selon la direction de B, elle indique en apparence la position du pôle nord magnétique. Ce point fictif représente la projection sur la surface

portfolio * intervention : « Mme Faïza Bouricha Bouabid : Discordance entre l’intervention de l’architecte et le vécu du commanditaire »  * composition non composition : « Jacques Lucan » * Projection : « koolhaas houselife » * Projection : « Réponse de Rem Koolhaas » * Projection : « centre George Pompidou » * Intervention : « Mme Olfa Saadi : Musée du Bardo »  * intervention : « Denis Lesage : Musée de Sousse »  Critique d’un projet Partie I Présentation : MVRDV :