Projection orthogonale

e 3.1 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Mesurabilit´e et variables al´eatoires . . . . . . . 3.1.2 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Ind´ependance et esp´erance conditionnelle . . . 3.2 Projection dans un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Th´eor`eme de Radon Nikodym . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Un th´eor`eme de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

on a : u (a ) ≤ u (b ) et donc −u (a ) ≥ −u (b ) soit g (a ) ≥ g (b ). Donc g est décroissante sur I. b. Cas 2 : λ réel non nul Remarque Ici aussi, une transformation permet de passer de Ꮿ à Ꮿ’, cette transformation (c’est une affinité orthogonale d’axe (Ox) et de rapport λ !) n’est pas étudiée au lycée. On peut retenir simplement qu’à partir d’un point de Ꮿ, on obtient un point de Ꮿ’ en multipliant l’ordonnée par λ. Graphiquement, on déduit de ce qui précède la propriété suivante.

calculer un produit scalaire Situation B p.206 : Produit scalaire Leçon : Projection orthogonale et vecteurs orthogonaux Propriété Soient trois points A, B et C (A et B distincts) Si H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), alors A⃗B⋅⃗AC= A⃗B⋅⃗AH . Il est possible de ramener le calcul d'un produit scalaire entre deux vecteurs quelconque au cas particulier de deux vecteurs colinéaire en utilisant un projeté orthogonal. Comme conséquence, il sera possible de définir l'orthogonalité de deux

Cours de deuxième année 67 13. Visualisation 3D Pour pouvoir modéliser un objet 3D, il est nécessaire de pouvoir le visualiser sous différents angles. En projection parallèle (axonométrique), un point de vue se résume à une direction de visée ou un point de l’espace depuis lequel on regarde l’origine du repère. En projection perspective, il faudra définir un point de vue (proprement dit), une direction de vue et un angle d’ouverture ou une distance focale. 13.1 Points de vue prédéfinis

description du mouvement et l'étude de ses causes. Deux exemples de bases de projection orthogonales : vitesse et accé- Un point essentiel est de souligner que le paramétrage et la base de lération en coordonnées cartésiennes (base fixe) et en coordonnées cy- projection doivent être adaptés au problème posé. Ainsi, pour le moulindro-polaires (base mobile). vement de vecteur accélération constant, la base cartésienne de projection doit être judicieusement orientée. De même, pour le mouvement circulaire

r 2 r dr θ θ constante constante' = tan( )dθ ⇒ r = ln ln r = −2 ln cos( ) + constante ⇔ r = = . r 2 2 cos 2 (θ 2) 1 + cos(θ) électrique. Ceci s’écrit : Les lignes de champ sont aussi des paraboles de foyer O ; elles sont (comme toujours) orthogonales aux équipotentielles. Les lignes de champ et équipotentielles sont représentées ci-contre, dans le cas où le potentiel de la plaque est V0 > 0 . 6. D’après le théorème de Coulomb, la densité surfacique de charge à la surface de la plaque conductrice

l'endroit dans lequel il se trouve. – Certaines peuvent pourtant trouver du sens : le cercle, par exemple, symbolise l'objectif photographique, l’œil. C'est une forme parfaite qui peut également symboliser le monde, les planètes. Dans une architecture orthogonale où tout est rectiligne, cette forme paraît libre et permet de repousser les murs. L'espace n'étant pas circulaire, cela permet de le modifier complètement, d'en changer totalement la perception. – Les carrés peuvent évoquer le tableau de Malevitch

td ) ∈ Rd , φ(X1 ,...,Xd ) (t1 , .., td ) = φX1 (t1 )...φXd (td ) D´finition 34 Deux variables al´atoires r´elles X, Y ∈ L2 (Ω, A, P ) sont non corr´l´es si e e e ee E(XY ) = E(X)E(Y ). On peut dire aussi que X − E(X) et E(Y ) − Y sont orthogonales pour le produit scalaire usuel de L2 (Ω, A, P ). Proposition 26 Si X1 , .., Xn sont deux ` deux non corr´l´es, elles v´rifient l’identit´ de a ee e e Bienaym´, e n V ar n Xi = i=1 V ar(Xi ). i=1 Nous en d´duisons l’in´galit´

système matériel p, u Vecteur unitaire r r x , r y et r z Vecteur position v : vm Projections de r sur les axes Ox, Oy et Oz. Vecteur vitesse instantané Vecteur vitesse moyenne du mobile entre les deux instants D r F F max , F s Quantité d'accélération élémentaire Vecteur de la force Force de frottement de repos où statique F x , F y et F z r r M o (F ) Projections de F sur les axes Ox, Oy et Oz. Moment de la force F par rapport au point O Physique 4 : Mécanique

problème de Sturm-Liouville, introduisons une notion souvent utilisée dans cette théorie : l’orthogonalité. On a l’habitude de voir deux droites orthogonales, voire même d’appliquer l’orthogonalité sur deux vecteurs, mais généraliser ce concept aux fonctions apportent davantage d’opportunités lorsqu’on a un système de fonctions. La notion de distance et de projection dépendent directement de celle d’orthogonalité, ainsi sa généralisation vers des fonctions permet de développer ces autres notions sur un