Projection orthogonale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 34 35 Algèbre euclidienne et hermitienne 8.1 Espaces euclidiens et hermitiens . . . . . . . 8.2 Formes quadratiques et hermitiennes . . . . 8.3 Endomorphismes orthogonaux et unitaires 8.4 Endomorphismes autoadjoints et normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 38 39 39 A Exercices et problèmes de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 7 Espaces de Hilbert 7.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 7.1.1 Espaces pr´hilbertiens . . . . . . . . . . . . . e 7.1.2 Espaces hilbertiens, Th´or`me de la projection e e 7.2 Applications du Th´or`me de la projection . . . . . . e e 7.2.1 Sous-espace orthogonal . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Th´or`me de repr´sentation de Riesz . . . . . e e e 7.2.3 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . 8 Exercices 8.1 Espaces m´triques. Espaces topologiques e

forces . . . . . . . . . . . . . . Résultante R des forces F1 et F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La boule soumise à trois forces est en équilibre . . . . . . . . . . Composantes du vecteur F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La projection est une grandeur algébrique . . . . . . . . . . . . . . Décomposition d’un vecteur suivant deux directions quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’une famille orthogonale de n vecteurs non nuls, on norme les vecteurs de la famille. On se souvient que toute famille orthogonale est libre. Donc pour montrer qu’une famille de n vecteurs d’un espace de dimension n forme une base orthogonale, il suffit de montrer qu’elle forme une famille orthogonale. 16 5. Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée On utilise la relation 6. Déterminer le projeté orthogonal Si on veut déterminer le projeté orthogonal d’un vecteur

caractérise indifféremment : par trois réels appelés coordonnées de M. Selon les besoins, on peut utiliser : ♦ ♦ ♦ les coordonnées cartésiennes (x,y,z) (projections sur Ox, sur Oy, sur Oz) les coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) r par son vecteur position r = OM . Ce vecteur peut se décomposer sur différentes bases de projection : r r r r r r r r ♦ sur la base cartésienne ( u x , u y , u z ) : r =x u x + y u y + z u z . Les composantes de r se confondent alors ♦ ♦ (et dans

dX D'où :      N CM  M 0 ; N , M  Arc sin      N C N M CM        2N EM  Arc sin    1 ( N ) 1 ( M )             Par exemple, pour les deux directions orthogonales E1 et E2 , on aura :       C12 2E12  Arc sin   E1 , E 2  Arc sin  C C   12E 12E  11 22  11 22      Enfin, il est possible d'obtenir la dilatation volumique ou variation relative de volume : 

bibliothèque d'Alexandrie). Réalise vers -220 une carte du monde d'alors très précise localise chaque point, chaque lieux par des coordonnées carte de projection orthogonale centrée sur Rhodes calcul exact de la circonférence de la Terre. Hipparque → systématise cartographie en imaginant projection vis à vis de l'astronomie. → précise notion de climat ÏIème siècle après Jésus-Christ : Ptolémée. *→ transmet géographie grecque à travers le monde latin. Transmission

unité, on a alors : u · v = cos u. Les principales propriétés du produit scalaire sont : • • • qu’il est symétrique u · v = v · u ; qu’il est distributif sur l’addition des vecteurs u · (v + w) = u · v + u · w ; que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. u ∧v u· v u v· u u Figure 1.2 8 Produits scalaire et vectoriel. v u u v Chapitre 1 • Cinématique Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est noté u ∧ v. Il s’agit d’un vecteur

Définitions 2.1.1 Repère et point de l’espace Un repère orthonormé de l’espace est constitué de trois axes perpendiculaires deux à deux, de même origine et gradués selon la même unité. Pris deux à deux, ces trois axes définissent trois plans orthogonaux deux à deux : les plans 0𝑥𝑦, 𝑂𝑥𝑧 et 𝑂𝑦𝑧. Repère orthonormé 𝑂𝑥𝑦𝑧 Plan 𝑂𝑥𝑦 Plan 𝑂𝑥𝑧 Plan 𝑂𝑦𝑧

produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . 22.6 Projecteurs et sym´tries orthogonaux . . . . . . . . . . e e 22.7 Espaces euclidiens orient´s. Produit mixte . . . . . . . 22.8 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . 22.9.1 Etude du groupe orthogonal en dimension 2. . 22.9.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . 23 Fonctions de deux variables 23.1 Continuit´