Projection orthogonale

Im(T), noyau et image de T D 2.4 D 2.5 Opérateur borné T Norme de T, T , L(E, F), L(E), sous-multiplicativité D 2.6 D 2.7 D 2.8 Application ouverte Application presque ouverte Graphe de T, G(T) E∗ , espace dual de E E∗∗ , bidual de E Orthogonal ou polaire de G, G⊥ c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. D 2.9 D 2.10 P2. Propriétés No P 2.1 P 2.2 Désignation Caractérisation des Banach Théorème de Riesz (Frédéric) Énoncé Un espace normé E est de Banach ssi toute série

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 5 Espaces fonctionnels 5.1 Espaces de Banach et de Hilbert . . . . . . . . . . 5.2 Projection orthogonale et orthogonalit´e . . . . . . 5.3 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Th´eor`eme de Stone-Weierstrass et s´eries de Fourier . . . . 27 27 29 31 32 . . . . . . . . 37 37 38 40 41 43 43 44 46 . . . . . . . . 6

réel k tel que → → AC = k AB . 4° Repères - Coordonnées dans le plan → → → → → → → → On appelle repère du plan un triplet ( O , i , j ) tel que i et j ne soient pas colinéaires. ( i , j ) forme alors une base du plan. Si i et j sont orthogonaux et de même norme égale à 1, le repère est orthonormé. Mathématiques 1ère S – V06/09 – page 32 © Complétude 2009/2010 → y → → → → Dans un repère, pour tout vecteur u , il existe un unique couple de → → réels (x,y) tel que :

"abscisse la plus grande" − "abscisse la plus petite" = −1 − −4 = 3. La distance BO est égale à : BO = "abscisse la plus grande" − "abscisse la plus petite" = 0 − −2, 5 = 2, 5. ( ) ( ) ( ) ( ) Plan repéré À savoir Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on peut repérer un point par son abscisse et son ordonnée ; réciproquement chaque couple de nombres réels correspond à un point du plan, point dont ce couple est le couple (abscisse ; ordonnée). Exemples Dans le plan ci-dessous, muni d’un

classique vers l'imaginaire romantique en formation. Cette toile de Gros répond parfaitement aux normes du néo-classicisme de part: > L'orthogonalité générale du tableau (composition: état de courbes, de droites, de projections, etc., qui sont orthogonales) > Le thème moralisateur, voire propagandiste (particulièrement sous Napoléon). Ici en rapport avec l'histoire et les moeurs de Sappho qui l'on conduit à sa perte. > La mise en avant de la simplicité et du “naturel”

• Supports parallèles ƒ Vecteurs opposés • Sens contraires ƒ Vecteurs concourants • Les supports passent par un point  unique 26 Opérations vectorielles 27 Opérations vectorielles 28 Opérations vectorielles y M0 M1 o x 29 Projections orthogonales d’un vecteur y D By B Ay O A Ax Bx x 30 Vecteurs unitaires z x y 31 Force ƒ Concept de base en mécanique ƒ Force = « La cause de la déformation d'un corps ou de la  modification de son état de repos ou de mouvement » ƒ Force = interaction entre 2 corps

composante v0x du vecteur-vitesse du centre d'inertie du boulet à l'instant de date t = 0 s. (0,25 pt) b) la nature du mouvement de la projection du centre d'inertie du boulet sur l'axe Ox. (0,25 pt) 3.1.2 En utilisant la figure 2, déterminer : a) la composante v0y du vecteur-vitesse à l'instant de date t = 0 s. (0,25 pt) b) la nature du mouvement de la projection du centre d'inertie du boulet sur l'axe OY. (0,25 pt) 3.1.3 Exprimer les composantes v0x et v0y en fonction de la valeur V0 du vecteur-vitesse

[Centrale 1] ('18) On considère l'arc Γ : { x(t) = cosh(t) y(t) = sinh(t) 1. Tracer la courbe paramétrée et donner les équations des asymptotes. 2. Pour tout a ∈ R, on dé�nit le point Ωa de coordonnées (0, a). Tracer le point Ma ∈ Γ tel que (ΩaMa) soit orthogonale à la tangente à Γ en Ma. 3. Démonter que ce point existe et est unique. 4. Montrer que ΩaMa est la plus petite distance entre Ωa et tout point M de Γ. II. Régularité des fonctions à plusieurs variables Exercice 4. [Centrale 1] ('18) 1. Énoncer la

Dans l’espace, à droite, l’angle ω sous-tendu par l’objet est la surface de sa projection sur la sphère unitaire L’angle solide est l’extension à trois dimensions de l’angle entre deux droites. Il est utilisé pour mesurer la portion de l’espace occupée par un objet tel que vu à partir d’un point. De manière plus précise, l’angle solide sous-tendu par un objet à partir d’un point X est la surface de la projection de l’objet sur une sphère unitaire centrée en X. L’unité d’angle solide est le stéradian

faces de la pyramide. : Fig. 1. 2. Projection d'un point. La projection d'un point sur un ylan est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur EL. 1 ELEMENTS DE GEOMETRIE DESCRIPTIVE plan. Ainsi a est sur le plan M. le la projection du point A pelle Plan de projection et projetante. On applan de projection le plan sur lequel la figure à étudier. on projette Fig. 2. La projetante d'un projection : point est la perpendi- culaire abaissée