Produit de Cauchy

k=1  0  si n = 0 (« somme vide »), n−1 + an ak si n > 0. k=1 D’une mani`ere analogue, on d´efinit (pour n ∈ IIN) :  1 n a1 · . . . · an = ak := k=1 Si ak = a pour tout n, nous obtenons  si n = 0 (« produit vide »), n−1 ak k=1 n an := a := k=1 · an 1 a · an−1 si n > 0. si n = 0, si n > 0. Donc, d’apr`es cette d´efinition : x0 = 1 pour tout x ∈ IR, mˆeme pour x = 0. 1.2 Les nombres naturels 11 Pour n ∈ IIN, on

bornée en x = c ∈ ]a, b[ f (x)d x + lim a e →0 c+e Chapitre 1 • Outils mathématiques de base On utilise souvent une définition alternative de ces intégrales généralisées dite au sens de la partie principale (ou valeur principale) de Cauchy ∞ PP R f (x)d x = −∞ b PP f (x)d x lim R→∞ f (x)d x −R c−e = lim e→0 a b f (x)d x + a f (x)d x si f non bornée en x = c ∈ ]a, b[ c+e Si l’intégrale converge au sens standard elle converge

partielles e e e e e e e e lin´aire, ` coefficients constants, homog`ne, non homog`ne, quasi-lin´aire. e a e Donnons quelques exemples de telles ´quations et de tels syst`mes d’´e e e quations. 10 Chapitre 1. 2.2. Quelques exemples. 1. Equation de Cauchy-Riemann dans R2 : ∂u ∂u +i =0 ∂x ∂y o` u est ` valeurs complexes et i = u a 2. Equation de Laplace dans Rn : n √ −1. ∆u = j=1 ∂2u = 0. ∂x2 i 3. Equation de la chaleur dans Rn+1 (on prend (t, x1 , . . . , xn ) pour coordonn´es o`,

RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n’existe pas un diviseur Q de P tel que 1 < degQ < degP. Théorème. Deux polynômes irréductibles distincts sont premiers entre eux. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles). Soit P ∈ K[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. P s’écrit de

l’intégrale de Lebesgue et obtenir ses propriétés. Contenu : théorie abstraite de l’intégration. Mesures de Borel et théorème de représentation de Riesz. Espaces Lp. Mesures complexes et théorème de Radon-Niko­ dym. Intégration sur les espaces produits et le théorème de Fubini. Différentiation. MAT 714 3 cr. Sujets choisis en algèbre (3-0-6) 3 cr. Objectif : se familiariser avec un domaine de l’algèbre privilégié par des travaux de recherche récents. Contenu : le sujet traité

a a ψ est une fonction impaire et donc pour tout a > 0, Donc a→∞ −a a ψ(α)dα = 0 = −a ∞ −∞ f (t) sin(α(t − x))dt dα. lim ψ(α)dα = −a ∞ −∞ ∞ −∞ On dit dans ce cas que l’intégrale converge en valeur principale de Cauchy vers 0. Ceci ∞ ∞ −i f (t) sin(α(t − x))dt dα = 0 et donc ; implique qu’on a aussi 2π −∞ −∞ Forme complexe de l’intégrale de Fourier . ∞ ∞ 1 f (x) = f (t)e−iα(t−x) dt dα. 2π −∞ −∞ Posons : 1 F ( f )(α) = f (α) = √ 2π ∞ iαx ∞ −∞ f (t) sin(α(t −

représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Intégration sur les espaces produits 4.1 Produit d’espaces mesurables . . . . . . . . 4.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Enoncés des théorèmes . . . . . . . 4.3.2 Discussions sur les théorèmes . . . . 4.4 Applications et exemples . . . . . . .

. . . . 61 10. Le problème des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11. Trois applications de la formule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 12. Le théorème de rigidité de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 13. Simplexes contigus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 14. Tout grand ensemble de points a un angle obtus . . . . . . . . . . .

000 en 2005, dont $1 465 400 000 b´en´efices net Cotation boursi`ere: environ $80 000 000 000 en aoˆut 2005 Pr´ecisons que la recherche sur Google est un service gratuit. En 1998 il n’´etait pas du tout e´ vident comment gagner de l’argent avec un produit gratuit, aussi appr´eci´e qu’il soit. Jusqu’en 2000 l’entreprise accumulait des pertes et fut mˆeme menac´ee de faillite. L’id´ee qui l’a sauv´ee a e´ t´e la vente de liens commerciaux et depuis 2001 ces placements publicitaires g´en`erent de plus

enti` re sur R donc sur ] − 1, 1[. L’unicit´ du d´ veloppement o e e e e e e fait que le coefficient de tk est nul pour k ≥ n. Par ailleurs PW (t) = PW (t).FW (t) : PW apparaˆt comme produit de deux fonctions d´ veloppables en s´ ries enti` res sur ]−1, 1[. ı e e e Le d´ veloppement de PW est donc le produit de Cauchy des deux d´ veloppements mais, les coefficients f 0 , f1 , . . ., fn−2 des e e premiers termes de FW etant nuls, il en est de mˆ me des coefficients dans PW . ´ e PW est donc un monˆ me