Produit de Cauchy

en général la naissance des logarithmes népériens de 1647, date à laquelle Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes (transformation d'un produit en somme) mais lui-même ne voit pas le lien avec les logarithmes inventés par Napier et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'explicitera en 164910. La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique

contrainte sur les variables x1 , x2 , . . . , xn . L’´tudiant est r´put´ ˆtre familier avec le calcul diff´rentiel des fonctions e e ee e d’une variable, les fonctions R → R. Rappelons quelques r´sultats impore tants de ce calcul. a) Le crit`re de Cauchy. e Une suite {xn }n∈N num´rique est convergente si et seulement si e n,m→+∞ lim |xn − xm | = 0. b) Le th´or`me de Bolzano-Weierstrass. e e Toute suite {xn }n∈N de points d’un intervalle compact [a, b] contient une suite partielle convergeant

petit segment : tenseur gradient de la transformation . . . 25 2.1.2 Transport lagrangien d’un petit volume : jacobien de la transformation . . . . . . . . . 26 2.1.3 Transport lagrangien d’un produit scalaire : tenseur des dilatations de Cauchy . . . . 28 2.1.4 Variation lagrangienne d’un produit scalaire : tenseur des d´eformations de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 2.1.5 Mouvements de solide ind´eformable : approche par ´etude directe . . . . . . .

calculateur, et aux outils de l’informatique industrielle. De part leur formation, ces ingénieurs pourront apporter leur compétence dans le développement des applications industrielles qui visent l’amélioration des processus de production, la qualité des produits et l’amélioration des conditions de travail. Ces ingénieurs pourront exercer leur activité dans les unités de production, dans les services de contrôle de qualité, de normalisation, d’environnement et dans les laboratoires de recherches ou d’études

− 2, ..., 1, 0) 2.4 Polynômes orthogonaux Dans cette section, w est une fonction définie-continue et à valeurs strictement positives sur ]a, b[. De plus, l’intégrale b w(x) dx a existe. Définition 2.4 (“Produit Scalaire”) Etant donné deux fonctions continues sur [a,b], on définit leur produit scalaire comme suit : b < u, v >w = a u(x) v(x) w(x) dx . 13 Définition 2.5 (“Orthogonalité”) Deux fonctions u et v définies-continues sur [a, b] sont dites orthogonales ssi : < u, v >w = 0 . Théorème 2

équivalentes x0 x0 Si f 1 ∼ g1 et f 2 ∼ g2 , alors f 1 f 2 ∼ g1 g2 et x0 x→x0 x→x0 f 1 g1 ∼ · f 2 x0 g2 Si f ∼ g et si lim g(x) = l , alors lim f (x) = l . Des deux théorèmes précédents, il résulte que, lorsque l'on a à chercher la limite d'un produit ou d'un quotient, on peut remplacer chacune des fonctions par une fonction équivalente, choisie pour simplifier le calcul. Mais attention à ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une fonction composée. 1.4 Équivalents classiques

ln(sigma)=-0,95 + 0,50*ln(seconds) R2=1,00 Approximation de Cornish Fisher VaR Historique = quantile échantillon 13 Daniel HERLEMONT Exposant de queue de distribution On s'intéresse ici aux évènements rares: du type krach de 1987, qui se produit une fois tous les 40 ans ! Soit 1/10 000 jours Exemple : estimer la VaR pour des évènements qui se produisent avec une probabilité de l'ordre de 1/10000 Les queues de distribution se comportent comme une loi puissance: Plus α est petit et

: Nous présentons le modèle de COVID-19, et analyse mathématique Introduction de ce modèle ; nous avons déterminé le nombre de reproduction de base R0 qui exprime le nombre de cas secondaires qu’un seul individu infectieux produit lorsqu’il est introduit dans une population particulière. Ensuite, nous avons étudié et discuté la stabilité du modèle : dans le cas de l’équilibre sans maladie (DFE) est stable lorsque le nombre de reproduction de base R0 &lt;

(autrement dit, lorsque deux séries de n nombres sont rangés dans l’ordre croissant, le produit de leurs moyennes est inférieur ou égal à la moyenne de leurs produits) 5. * : (a) Démontrer l’identité de Lagrange : n n a2k k=1 b2k k=1 2 n = ak bk k=1 + 1 i<j n (ai bj − aj bi )2 (b) En déduire que le produit de 2 sommes de 2 carrés (parfaits) est encore une somme de 2 carrés, et que plus généralement, le produit de 2 sommes de n carrés est une somme de .... carrés. 1 EXERCICES MPSI A1. II. SOMMES

prestations EXW, et l’obligation maximal de l’acheteur. Il est pour tous les modes de transports internationaux. Il faut toujours préciser le point géographique derrière les trois lettres. Le point venu est l’entrepôt du vendeur. Ex : EXW Sceaux, 8 avenue Cauchy. C’est le client étranger qui a la responsabilité d’organiser le passage des douanes à la sortie du pays. Assurance qui n’est pas compris dans le prix, on doit l’ajouter. Inconvénient pour le vendeur, il exporte mais il n’a pas en charge le passage