Produit de Cauchy

n uk k−1 kQ(t)Dn Ln (t) ϕu (t) = k! k=1 n uk−1 k−1 L (t) (k − 1)! n = uQ(t)Dn k=1 n−1 = uQ(t)Dn k=0 n uk k L (t) k! n uk k L (t) (Dn Ln n (t) = 0) k! n = uQ(t)Dn k=0 = uQ(t)Dnϕu (t) Ainsi ϕu (t) = uQ(t)Dn ϕu (t). c. ϕ1 est d´erivable comme produit de fonctions d´erivables et ϕ1 (t) = Q (t)Dn ϕ1 (t) + Q(t)Dn ϕ1(t) = −Q(t)Dn Q(t)Dn ϕ1 (t) + Q(t)Dn Q(t)Dn ϕ1 (t) = 0 Ainsi ϕ1 (t) = 0 est nul pour tout r´eel t ; par cons´equent ϕ 1 (t) = ϕ1 (0) + tϕ1 (0). Comme Ln (0) = 0 on d´eduit ϕ1 (0) = I et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 112 114 116 116 117 119 41 Dualité 119 42 Sommes directes 123 V 124 Algèbre bilinéaire 43 Produit scalaire 124 44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 130 45 Formes quadratiques 133 46 Transformations orthogonales 136 47 Endomorphismes auto-adjoints 140 48 Problèmes matriciels 146 49 Espaces vectoriels hermitiens 149

Esp´rance math´matique. Lois absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Esp´rance math´matique d’une variable al´atoire. Mesures de proe e e babilit´ produit et th´or`me de Fubini. Int´grale de Lebesgue. Lois e e e e de probabilit´ absolument continues. Les trois types de fonctions e de r´partition. Convolution. Compl´ments et exercices. e e e a CHAPITRE 12. Variables al´atoires ` deux dimensions ; esp´rance

E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont. Exercice 10 [ 02637 ] [correction] On note (. | .) le produit scalaire canonique sur Rn et . le produit scalaire associé. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : : si x, y ∈ Rn , (x | y) x y avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires et de même sens. a) Soit x, a, b ∈ Rn tel que a = b et x − a = x − b . Montrer que x− a+b < x−a 2 Exercice

particuliers de fonctions en escaliers. – Si ϕ et ψ sont en escaliers sur [a, b], alors : ∀ (α, β) ∈ K2 , αϕ + βψ est en escaliers sur [a, b]. Plus généralement, toute combinaison linéaire de fonctions en escaliers est encore en escaliers. De même le produit ϕψ est en escaliers sur [a, b]. Définition 20.2.3 (fonctions en escaliers sur un intervalle quelconque) Soit I un intervalle de R d’intérieur non vide. Soit ϕ une fonction de I dans K. On dit que ϕ est en escaliers sur I si ϕ est en escaliers sur

l'existence de la limite découle de la formule d'isométrie d'Itô pour les fonctions élémentaires, on a pour tous n, m : T T 2 T E S φm dt − S φn dt =E S (φm − φn )2 dt La suite des T S φn (t, ω) dBt (ω) est donc une suite de Cauchy dans L2 (P ). 7 2.3 Propriétés de l'intégrale d'Itô On peut étendre la formule d'isométrie d'Itô à toute fonction de V : Corollaire 2.1 (Isometrie d'Itô). Pour toute fonction f appartenant à V , on a l'égalité suivante : T 2 T E S

. . . . . . . . . . . . . 102 40.12Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 41 Dualité 42 Sommes directes 103 107 V Algèbre bilinéaire 108 108 113 116 118 121 127 128 43 Produit scalaire 44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 45 Formes quadratiques 46 Transformations orthogonales 47 Endomorphismes auto-adjoints 48 Problèmes matriciels 49 Espaces vectoriels hermitiens VI Fonctions d’une variable 131

points du président Wilson ". A Versailles, en 1919, il s'efforce de faire appliquer ses principes, mais est désavoué par le Congrès Américain. Dès lors les Etats-Unis ne ratifient pas les traités de paix. Phillippe pétain: né le 24 avril 1856 à Cauchy-à-la-Tour (Pas-de-Calais) et mort le 23 juillet 1951 à Port-Joinville, sur L'Île-d'Yeu, est un militaire, diplomate, homme politique, et homme d'État français. Chef militaire à l'action décisive au cours de la Première Guerre mondiale, Pétain est

particulier de la e e ea e e e e m´canique. C’est ` cette ´poque que se d´gagent les principaux r´sultats du calcul diff´rentiel (th´or`me de e a e e e e e e Rolle, accroissements finis, formule de Taylor). C’est au d´but du 19`me que se d´gage, avec Cauchy en particulier, la notion plus g´n´rale de fonction e e e e e continue. Ce n’est que dans la deuxi`me moiti´ du 19eme que la th´orie est solidement fond´e, avec une e e e e d´finition pr´cise des nombres r´els, et la preuve des grands th´or`mes que

demandée au bac nous démontre mathématiquement que les femmes égalent problèmes. Qu'est ce qu'un prof de math un soir de pleine lune ? Un lougarithme... Quelle précaution prend un prof de maths avant de s'exposer au soleil ? Il enduit son corps de produits scalaires .... Quel est le nombre le plus magnifique du Monde? Ln3 (Hélène de Troie) Qu'obtient-on en faisant la dérivée troisième d'une fonction dérivée ? L'encéphalogramme d'une blonde ! Quel rapport y a-t-il entre vie de couple et vie