Corrig´ e Mines-Ponts 2001 Math I
Pr´
eliminaires
a. x ∈ ker f k ⇒ f k (x) = 0 ⇒ f k+1 (x) = f(f k (x)) = 0 ⇒ x ∈ ker f k+1
Donc ker f k ⊂ ker f k+1 pour tout naturel k.

b. Notons HR(k) la propri´et´e : ker f k = ker f k+1 .
HR(p) est vraie par hypoth`ese.
Si HR(k) alors on dispose des ´equivalences : x ∈ ker f k+2 ⇔ f(x) ∈ kerf k+1 ⇔ f(x) ∈ kerf k ⇔ x ∈ kerf k+1 qui entrainent HR(k + 1).

Ainsi par r´ecurrence, ker f k = ker f k+1 pour tout k ≥ p.

dk = dim ker f k est une suite croissante major´ee (par n) d’entiers naturels donc elle est constante a
` partir d’un certain rang p.
Elle est strictement croissante jusqu’` a ce rang par contraposition du r´esultat pr´ec´edent donc :
∀k ≤ p,

k ≤ dk ≤ n.

Ainsi p ≤ dp ≤ n et en particulier dn = dn+1 donc ker f n = ker f n+1 par inclusion et ´egalit´e des dimensions.
c. Si uq = 0 alors la limite de (dk )k est n donc dn = n soit un = 0

Partie I
I-1 a. g commute avec Dn - donc avec Dnp+1 - car Dn = g2 − λId est un polynˆ ome en g.
Alors ker Dnp+1 est stable par g (r´esultat de cours).

Les polynˆ omes tels que leur d´eriv´e (p + 1)`eme soit nul sont les polynˆ omes de degr´e inf´erieur ou ´egal a
` p donc
Ep = ker Dp+1 .
Ep ´etant stable par D et g, les endomorphismes induits g p et Dp v´erifient la mˆeme relation.
b. De mˆeme que pr´ec´edemment puisque D est un polynˆ ome en g et E n = ker Dn+1 .
c. i/
• F est de dimension finie (n + 1) donc engendr´e par une famille finie F de polynˆ omes. Etant finie, F est incluse dans un sous espace Eq donc F ⊂ Eq . Dans ce cas D q+1 F = {0} donc l’endomorphisme induit de DF est nilpotent.
DF est un endomorphisme nilpotent en dimension n + 1 donc D Fn+1 = 0 (pr´eliminaire question c)
Alors Dn+1 (F ) = {0} donc F est inclus dans En et par l’´egalit´e de leur dimension : F = En.

• Soit maintenant F un sous espace de dimension infinie. Alors F n’est inclus dans aucun E n donc pour tout entier n, il existe un polynˆ ome P dans F de degr´e m ≥ n. Si de plus F est D-stable, F contient