Polynômes orthogonaux

FONCTIONS POLYNÔMES 1. Fonction polynôme de degré quelconque 1.1. Définition On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) de degré n (n Î ) toute fonction P définie sur  dont l'écriture peut se ramener à la forme : P(x) = an xn + an–1 xn–1 + ... + a1x + a0 où a0, a1, ... , an réels avec an ¹ 0 Le terme apxp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P). Exemples et contre-exemples : · La fonction P définie par P(x) = 7x6 – 5x4 + 3x – 11 est une fonction polynôme de degré 6. · Toutes les

2 ou x > 1,5, f(x) = - 2 x² - x + 6 < 0 Pour – 2 < x < 1,5, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant : a = - 2 < 0 Résolution d’une inéquation du second degré : D’après les deux études précédentes, le signe du polynôme a x² + b x + c dépend du coefficient a de la façon suivante : a. Cas où  > 0 : b. Cas où  = 0 : Dans ce cas, le trinôme a x² + b x + c admet une seule racine telle que: x1 = x2 = x0 = et se factorise comme suit : a x² + b x + c

1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c où a, b et c sont des réels avec a ≠0 Exemples P(x)=2x2+3x−5 est un polynôme du second degré. P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine) P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant

Ce qu'il faut savoir : résoudre des équations simples du premier degré (exemple : x-2=0)et des équations-produits. rappel : Les identités remarquables Elles sont utiles quand l'équation est sous une forme particulière.(exemple pour x²-1=0 : on reconnaît une différence de carrés et le second membre est nul) Il en existe 3 qu'il faut apprendre par coeur. a² + 2ab + b² = (a+b)² a² - 2ab+b² = (a-b)² a² - b² = (a+b)(a-b) Attention  (a+b)² n'est pas égal en général à a²+b² !!!! Exemple : pour x² -

polynomiale à coefficients entiers possède des solutions en nombres entiers, celles-ci sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant du polynôme. Exemple 1. Soit l’équation (1) x3 − 4x2 − 7x + 10 = 0, dont on cherche toutes les solutions réelles. On pose P (x) = x3 − 4x2 − 7x + 10. Le problème consiste à trouver toutes les racines, s’il en existe, du polynôme P , qui est du troisième degré. La première des choses à faire est de procéder à des essais numériques : c’est la recherche de racines évidentes

µ)f + λµid = (λ2 p + µ2 q) − (λ + µ)(λp + µq) + λµ(p + q) = (λ2 − λ(λ + µ) + λµ)p + (µ2 − µ(λ + µ) + λµ)q = 0. (f − λid) ◦ (f − µid) = 0. Le polynôme (X − λ)(X − µ) est un polynôme scindé sur R à racines simples et annulateur de f. On en déduit que f est diagonalisable. 2) Les valeurs propres d’un endomorphisme sont à choisir parmi les racines d’un polynôme annulateur. Donc Sp(f) ⊂ {λ, µ}. Vérifions alors que λ et µ sont effectivement valeurs propres de f. Si λ n’est pas valeur propre de f, alors f

POLYNOMES DU SECOND DEGRE I) Polynômes Définitions : Soit a un nombre réel non nul et n un entier naturel. • La fonction f définie sur R par f ( x ) = axn est une fonction monôme de degré n. L’expression ax n est appelée monôme de degré n. • On appelle fonction polynôme, une somme de fonctions monômes. • On appelle degré d’un polynôme, le degré le plus élevé de la variable x. Exemples : II) Fonction polynôme du second degré Définition : On appelle fonction polynôme du second degré ou trinôme

possible que la manière de rédiger dans la correction soit légèrement différente de celle que vous apprenez cette année en cours. Cela reste néanmoins un bon entraînement pour vous … Exercice 1 : Etude d’une équation (6,5 points) Partie A Soit le polynôme P défini sur IR par P(x) = 4 x3 – 8 x2 + 3 x + 1 a) Vérifier que 1 est une racine b) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, P(x) = (x – 1) (a x2 + b x + c) c) Résoudre l’équation P(x) = 0 Partie B     Dans un repère orthonormé

CONCOURS INGENIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Option Mathematiques Corrige de la 1 ere Composition de Mathematiques Partie I : Les polyn^omes de Legendre 1. (a) (t 2 1) n est un polyn^ome de degre 2n de coecient dominant 1 et Ln est sa derivee n ieme donc, Ln est un polyn^ome de degre n de coecient dominant 2n(2n 1)


(2n n + 1) = (2n)! n! . (b) L0(t) = (t 2 1) 0
(0) = 1 L1(t) = (t 2 1) 1
(1) = (t 2 1) 0 = 2t L2(t) = (t

Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne