Polynômes orthogonaux

. . Première S 1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trimôme du second degré Définition 1 : On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme : P(x) = ax2 + bx + c avec a 0 Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P1 (x) = x2 + 2x − 8 P2 (x) = 2x2 + 3x − 14 P3 (x) = −x2 + 4x − 5 1.2 Quelques exemples de formes canoniques La forme canonique d’un trinôme est une forme à partir

PARTICULIERE de L'EQUATION COMPLETE (I) 4.1.. Formes classiques du second membre. • ϕ( x ) = Pn ( x ) avec Pn polynôme de degré n 2 © dpic – inpl – mai 1999 Equations différentielles linéaires du 2ème ordre. U.M.N. 13. c≠0 ySP ( II ) = Qn ( x ) c = 0 et b ≠ 0 ySP ( II ) = xQn ( x ) c=b=0 ySP ( II ) = x 2Qn ( x ) Cours. avec Qn polynôme de degré n • ϕ( x ) = e mx Pn ( x ) avec Pn polynôme de degré n et m ∈ R∗ ou bien, on effectue le changement de fonction inconnue y = e mx z avec z fonction

x < b II] Polynôme du premier degré A] Equation du premier degré L’équation : ax + b = 0 admet comme solution unique si a ≠ 0 S = {- } a b B] Signe d’un polynôme du premier degré Soit le polynôme P(x) = ax + b, pour étudier son signe, il suffit de chercher la valeur qui l’annule et de dresser le tableau de signes : x P(x) -∞ Signe de –a b a +∞ Signe de a 0 Dès que vous avez une inéquation à résoudre, il faut obligatoirement faire une étude de signes. III] Polynôme du second degré

Excel activité 1 – Résolution d’un équation du second degré. Consignes. * Objectifs : Composer une feuille de calcule qui permette de calculer les solutions d’une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0. 1. Résoudre l’équation en tenant compte de la valeur du déterminant : ∆ = b²-4*a*c Si ∆0, il faut afficher deux racines calculées à l’aide de la formule : x₁ et x₂ =-b±b2-4ac2a Si ∆=0, il faut afficher la racine double calculée à l’aide de la formule : x=-b2a 2. Etablir

Polynômes et équations du second degré Savoir-faire : Mettre un polynôme du second degré sous forme canonique Déterminer les racines d'un polynôme du second degré Etudier le signe d'un polynôme du second degré Utiliser la forme la plus adaptée (développée, canonique, factorisée) d'un polynôme du second degré en vue de résoudre un problème 1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c

Première S1 Année 2014-2015 Devoir sur table n◦ 1 : Corrigé Durée : 2 heures Les calculatrices ne sont pas autorisées Question de cours 1. Déterminer la (ou les) fonctions trinômes du second degré f vérifiant les conditions suivantes : ses racines sont − 1 et 2 et on a f (1) = 4. On sait qu’un tel trinôme s’écrit sous forme factorisée f (x = a(x + 1)(x − 2). De f (1) = 4, il résulte que f (1) = a × (−1) donc −2a = 4 soit a = −2. En développant l’expression ainsi obtenue, il résulte : f (x) = −2x2

I. Polynômes Définition / Vocabulaire : Un monôme est une expression de la forme : a x n ou a est un nombre réel et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre n est appelé le degré du monôme. • 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3 • -2 / x n'est pas un monôme • 3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3 Définition : Une somme de plusieurs monômes est un polynôme. • • • • 3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré -x3 + 4x - 9 est

l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0 indication : on pourra poser X = x^2 exercice 3 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 indication : on pourra poser X = \sqrt{x} Exercice 4 On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre. exemple : f (x) = x4 - 5x3 + 6x² - 5x + 1 Le but de l'exercice est de résoudre l'équation (E) : x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0, pour tout x appartenant

Théorème Le polynôme Irr a K est irréductible dans K X . Démonstration Sinon, on pourra l’écrire sous la forme Irr a K gh où g et h sont deux polynômes de degré inférieur au degré n de Irr a K . Mais, nous avons qui implique g a 0 ou h a 0. Dans le premier cas, nous aurons g I a et Irr a K divise g, et dans le second cas, h I a et Irr a K divise h ce qui est impossible vu les degrés de ces polynômes. Remarque Nous avons Le théorème précédent justifie la notation Irr a K pour le polynôme minimal

démontrer que : S1 = n(n + 1) 2 Calcul de S2 On considère la fonction polynôme de degré 3 f2 définie par f2 (x) = x3 x2 x − + . 3 2 6 1. Calculer f2 (1). 2. A l’aide du logiciel Xcas, vérifier que, pour tout réel x, f2 (x + 1) − f2 (x) = x2 (II). 3. En écrivant l’égalité (II) pour x = 1, x = 2, . . . , x = n, démontrer que : S2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Calcul de S3 On considère la fonction polynôme de degré 4 f3 définie par f3 (x) = x3 x2 x4 − + . 4 2 4 1. Calculer