Plan complexe

e 4.1 L’exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propri´t´s g´n´rales des isom´tries . . . . . . . . . . . . . e e e e e 4.3 Isom´tries de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Liaison avec les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . 4.5 Isom´tries de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments

présent guide contient des exemples qui illustrent l’utilisation des fonctions et opérations de base de la calculatrice. Les chapitres sont organisés par ordre de difficulté. Du paramétrage des modes de la calculatrice aux calculs de nombres réels et complexes, opérations avec des listes, vecteurs, matrices, exemples détaillés des opérations graphiques, utilisation des chaînes de caractères, programmation de base, programmation graphiques, analyses de vecteurs, applications avancées et opérations à plusieurs

7977e+308 >> realmin ( ans = 2.2251e-308 1.2. Variables complexes Matlab travaille indifféremment avec des nombres réels et complexes. Par défaut les variables i et j sont initialisées à la valeur complexe. Naturellement si vous redéfinissez la variable i ou j avec une autre valeur elle n'aura plus la même signification. >> z = 3 + 2*i ( z = 3.0000 + 2.0000i Les fonctions usuelles de manipulation des nombres complexes sont prédéfinies dans Matlab : real, imag, abs, angle (en radian)

Soutien TS fiche 09 : complexes 2 I) Argument et forme trigonométrique 1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres : a) z = − 2 − i 2 b) z = 3 i c) z = −2 d) z = −2 + 2i 3 e) z = − 3 + 3 i 2 2 2. Construire à la règle et au compas les points A, B, C, D définis par : z A = 3 et arg z A = π ; z B = 2 et arg z B = π ; zC = 4 et arg zC = − π ; Re( z D ) = −4 et arg z D = 3π 4 3 6 4 II) Forme exponentielle 1. Mettre sous forme exponentielle : m = 3 +i 3 n = 6 −i 2 p=i

; −1 ; −1) un vecteur normal au plan (ABC). c. Une équation du plan (ABC)est de la forme 1×x+(−1)×y +(−1)×z+d = 0, donc x − y − z + d = 0 or C doit être dans ce plan donc −4 + 3 + d = 0 donc d = 1, donc (ABC) : x − y − z + 1 = 0. −−−→ → − −−−→ → − 2. a. Si M(x, y, z) est sur (D) alors OM est colinéaire à n , donc OM = t n  t ×1  x = y = t × (−1) . C’est une représentation paramétrique de la droite  z = t × (−1) (D) passant par le point O et orthogonale au plan (ABC). b. Le point O′ projeté orthogonal

moins succinte allant de la simple réponse au calcul demandé à une rédaction complète pour les questions non immédiates. Michel Quercia Table des matières I Algèbre générale 1 Applications 2 Coefficients du binôme 3 Ensembles finis 4 Nombres complexes 5 Opérations 6 Groupes 7 Anneaux 8 Relations d’équivalence 9 Relations d’ordre 10 Propriétés de N 11 Propriétés de R 12 Suites récurrentes linéaires 13 Permutations 6 6 8 10 12 16 16 21 25 27 29 30 31 32 II Arithmétique 34 34 36 37

expression littérale est homogène ou non. Cela permet de rechercher d’éventuelles erreurs. Mais l’analyse des dimensions ou « analyse dimensionnelle » permet de retrouver, de deviner la forme des lois physiques lorsque la résolution théorique est trop complexe. Supposons qu’une loi physique s’écrive sous la forme a = f(x,y,z) : la grandeur a est fonction des grandeurs (dimensionnées) x, y et z qui sont supposées indépendantes (c’est-à-dire que l’on ne peut pas mesurer l’une d’entre elles en fonction des

question, on suppose que n est un entier non nul. Soit k un nombre réel donné. Discuter, selon la valeur de k, le nombre de racines réelles de l’équation vn = k. 10) Soit le nombre réel  tel que 0 <  < /2 10a - Résoudre, dans le corps C des nombres complexes, l’équation (E) : (E) zn + z-n = 2 cos 10b - zs étant une racine de l’équation (E), calculer h(zs) = ts. 10c - En notant encore par vn le prolongement à C de l’application définie à la question 5, calculer vn(ts). ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE

 v n  u n a) Montrer que w est une suite géométrique et déduire la limite de w b) Montrer que u et v convergent vers la même limite Exercice 5 : (6 points) On considère dans l’ensemble des nombres complexes a  2  i 2 et b  3  i 1) a) Ecrire a et b sous forme exponentielle b) Placer dans un plan rapporté à un repère orthonormé les points A(a), B(b) et C(a + b)   2) Mettre a.b sous forme algébrique et forme trigonométrique, puis déduire cos et sin 12 12 a a 3) a) Mettre sous forme exponentielle

ce recueil en m’envoyant vos fichiers : bodin@picard.ups-tlse.fr ou abodin@crm.es Donc n’h´sitez pas ` taper vos feuilles, ce sera fait une fois pour toutes et pour tous ! e a Arnaud Bodin Sommaire ` ALGEBRE 1 1 1 Nombres complexes 1 2 Logique, ensembles, raisonnements 6 I 3 Injection, surjection, bijection 11 4 Relation d’´quivalence, relation d’ordre e 14 5 D´nombrement e 15 6 Arithm´tique dans Z e 18 7 Polynˆmes o 23 8 Fractions