Plan complexe

Universit´ e de Fribourg ¨ t Freiburg Universita D´ epartement de Math´ ematiques Mathematik Department Analyse 1 Norbert Hungerb¨ uhler Paul Turner Fribourg, septembre 2010 Table des mati`eres 1 Nombres r´ eels et complexes 1.1 1 Les axiomes des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Axiomes alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Axiomes d’ordre . . . . . .

fORMULAIRf FORMULAIRE NOMBRES COMPLEXES, GEOMETRIE A. Nombres complexes Dans Ie repere orthonormal affixe z. (0 ; D, iT) Ie point M(x ; y) , ou (x; y) E 1R2, a pour Z a pour forme algebrique x + iy . Partie reel Ie de z: Partie imaginaire Conjugue Re (z) =x de z : 1m (z) = y de z : z = x - iy Module de z I zl = Jll= Jx2 + y2 : z = p( cos 6 + i sin 6) : z = peiS Si Z;to 0 , trigonometrique Izl=p arg z=6 [2 'IT] z a pourforme Moduledez: Argumentdez:

moyenne géométrique de n nombres positifs). Exercise 2.2.6 Montrer que n! < ; 8n 2 N, où n! = 1:2:3: : : : :n: 1 Exercise 2.2.7 Montrer que (1 + x)n (Inégalité de Bernoulli). 1 + nx 8n 2 N et pour tout nombre x Pour tout nombre x (réel ou complexe) et tout entier relatif positif k, l’ expression suivante : x (x 1) : : : (x k + 1) k! est appelée coe¢ cient binomial que l’ note par x . On écrit on k x x x (x 1) : : : (x = 1; = 0 k k! Pour x = n 2 N, on lit combinaison de k parmi n: k + 1) :

Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 1 1 3 5 6 5. Dérivation Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 59 59 62 66 67 2. Les nombres complexes Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 11 11 14 18 19 6. Intégration Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 79 79 81 85 87 3. Suites

représente | | | | « Q » | | | | | Nombre | | | | ℚ+ | | | | | ℝ | Ensemble des nombres réels | représente l'ensemble des limites des suites de Cauchy de | (i étant le nombre complexe tel que i2 = − 1) | | | « R » | | | | | Nombre | | | | ℂ | Ensemble des nombres complexes | représente | | | | « C » | | | | | Nombre | | | | &lt; &gt; | Comparaison | x &lt; y signifie que x est strictement inférieur à y (ou x est inférieur à y). x &gt; y signifie

balayer un plan fixe lié au boîtier.   Gyroscope libre. Représentation schématique d'un gyroscope libre dont la toupie est portée par cardan ; dans ce type d'articulation, l'axe de la toupie ne doit jamais être parallèle à l'axe de cardan extérieur, sinon le rotor perd un degré de liberté par rapport au boîtier. Gyroscope muni d'un axe. Représentation schématique d'un gyroscope « 1 axe ». La liaison cinématique formée par l'anneau A et l'axe de sortie S oblige Δ à balayer un plan lié au

 traits  pervers.         Le  vecteur  du  contact  c’est  la  base,  le  vecteur  sexuel,   Vecteur  suivant  à  le  fondement.         Cours  du  28/02/2012   Le  complexe  d’Oedipe       Paroxysmal  :   Tendance  au  mal,  au  bien,  de  se  cacher,  de  se  montrer.     «  Freud  à  Totem  et  tabou  »     Le  surmoi  :  

intensité-potentiel : application à la préparation du zinc par électrolyse. (PC2). 29 - Notion de mécanisme réactionnel en cinétique homogène. (L). 30 - Application de la théorie du complexe activé à l’étude de mécanismes réactionnels.(L). 31 - Catalyse hétérogène : caractères généraux, exemples. (L). 32 - Catalyse par les complexes des métaux de transition : caractères généraux, exemples. (L). 33 - Les éléments de transition en chimie bioinorganique. (L). 34 - Ammoniac liquide : étude du solvant, comparaison

DEVOIR N°1 : Psychologie de l’enfant Question 1 : Comment savez-vous qu’un individu a dépassé son stade œdipien ? Chez le garçon : selon Freud, «  l’angoisse de castration est le moteur de résolution du complexe d’Oedipe » Ainsi la résolution de l’Oedipe chez le garçon, correspond au moment où celui-ci accepte psychiquement l’idée qu’il sera un jour «  comme papa… » Mais autre que son père, « avec maman … » mais avec une autre que maman, « …plus tard, ailleurs. »

d’une gaine optique d’indice n1 l´eg`erement inf´erieur a` n. Les deux milieux sont suppos´es homog`enes, isotropes, transparents et non charg´es. Un rayon situ´e dans le plan (Oxy) entre dans la fibre au point O avec un angle d’incidence θ . Afin de ne pas confondre l’angle i d’incidence sur la gaine avec le nombre complexe imaginaire pur de module 1, on notera ce dernier j tel que j2 = −1. Quelques constantes sont donn´ees en fin d’´epreuve. Les vecteurs sont surmont´es d’un chapeau, ux , s’ils