Neuvième degré

FONCTIONS TRINOMES OU FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I- FONCTIONS TRINOMES 1- Définitions et forme développée : - On appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme toute fonction f définie sur IR par f (x )=a x 2+b x+c où a est non nul. - L'expression a x 2+b x+c est appelée polynôme du second degré ou trinôme. Exemples : fonctions f, g et h définies sur IR par : f (x )=3 x 2 – 2 x+1 ; g ( x)=( x+1)(3 x−1) et h( x)=( x+1)3 – (x−1)3 sont des fonctions trinômes.

Lycée Camille SEE 03 octobre 2011 CONTRÔLE N O 1 1re ES 2 Durée 2 heures EXERCICE 1 (3 points) Rappel : Une fonction polynôme du second degré P est une fonction définie pour tout nombre réel x par : P(x) = ax2 + bx + c avec a = 0. 1. Soit f une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0. Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes ? a) a > 0 et ∆ < 0. b) a < 0 et ∆ = 0. c) a < 0 et ∆ < 0. d) La courbe représentatve

la question précédente de la forme (−3k + 1 ; 4k − 1) avec k ∈ Z, on cherche donc les valeurs de k telles que : (−3k + 1)2 + (4k − 1)2 < 81 ⇐⇒ 9k 2 − 6k + 1 + 16k 2 − 8k + 1 < 81 ⇐⇒ 25k 2 − 14k + 2 < 81 ⇐⇒ 25k 2 − 14k − 79 < 0 Le trinôme du second degré obtenu a pour discriminant ∆ = 142 − 4 × 25 × (−79) = 8096 Ce trinôme possède donc deux racines réelles qui sont : √ √ 14 + 8096 14 − 8096 ≈ −1, 52 et k2 = ≈ 2, 08 k1 = 50 50 On en déduit le signe du trinôme : k Signe de 25k − 14k − 79 2 −∞

FONCTIONS POLYNOMES ET SECOND DEGRE I. Fonctions polynômes 1. Définition |1. On appelle fonction polynôme ou polynôme de degré n, [pic], toute fonction définie sur [pic], dont l’écriture peut se mettre sous la forme : | |x ) a n x n + a n-1 x n-1 + … + a1 x + a0 où a0 , a1 , … , an sont n + 1 réels et an ≠ 0. | |2. Le terme ap xp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P), le degré du polynôme.

1ère ES. Second degré et applications Exercice 1 Résoudre dans [pic] les équations et inéquations suivantes : a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] Exercice 2 La façade d’une bibliothèque est composée de 3 panneaux carrés tels que chaque côté mesure 60 cm de plus que le précédent. Déterminer le côté de chaque panneau sachant que la superficie de la façade est de 3,72 m². Exercice 3 Dans le repère ci-dessous a été représentée la courbe (C) d’équation [pic]. 1°) Dans ce repère,

distance Terre-Soleil (= 1 Unité Astronomique = 149 597 870 km) : ils peuvent alors calculer sans problème la distance Terre-étoile, grâce au théorème de Pythagore ... Grâce à ce théorème nous avons inventés le parsec: équivalant à une seconde d'arc.(un degré se décompose en 60 minutes d'arc, qui se décomposent elles-mêmes en 60 secondes d'arc) http://www.astronomes.com/les-galaxies/ http://www.phy6.org/stargaze/Fsun4Adop3.htm http://astrosurf.com/toussaint/dossiers/distances/distances2.htm La classification

= ?(??) = Valeur prise par ? −6 ?2 (10 + ?)2 Probabilité 5) Montrer que ?(?) = −1 20? (10 + ?)2 4 100 (10 + ?)2 40−6? 10+? ?2 20? 100 −6?2 − 20? + 400 − 1 × + 4 × = (10 + ?)2 (10 + ?)2 (20 + ?)2 (10 + ?)2 2 Considérons le trinôme du second degré −6? − 20? + 400. Calculons son discriminant : Δ = ? 2 − 4?? = (−20)2 − 4 × (−6) × 400 = 400 + 9600 = 10000 Puisque le discriminant est positif, alors le polynôme admet une forme factorisée : −? − √Δ 20 − 100 −80 20 −? + √Δ 20 + 100 120 ?1 = = = =

le terme constant ? b) Quel est le degré et quel est le coefficient du premier terme ? c) Quel est le degré et quel est le coefficient du deuxième terme ? d) Quel est le degré et quel est le coefficient du troisième terme ? e) Quel est le degré du terme constant ? f) Quel est le degré du polynôme ? Produit de polynômes Effectuer et simplifiez votre réponse s’il y a lieu: ( 4x 3 + 2x + 1 ) (2x2 − 5x ) = 2  3x2 y5  =  3   4z  Équations du premier degré à une variable Résoudre les équations

carré est décroissante sur R− et croissante sur R+ . 2) On donne la fonction f définie sur R par : f (x) = 2x4 + 5x2 + 1. a) Montrer que la fonction f est paire. b) Que peut-on dire de sa courbe représentative C f ? Exercice 2 Fonction du second degré (4 points) On donne la fonction f définie sur R par : f (x) = x2 − 20x + 16. 1) Montrer que la fonction f peut se mettre sous la forme : f (x) = (x − 10)2 − 84 2) Dresser le tableau de variation de la fonction f . 3) Comparer en expliquant pourquoi

T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x)) Position relative d'une courbe et d'une tangente x3 2 −x −3 x1 . 3 1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f . f '(x) = x2 ­ 2x ­ 3 = (x ­ 3)(x + 1). f '(x) est un trinôme du second degré qui admet deux racines ­1  et 3. Comme le coefficient de x2 est positif, f '(x) est positif à l'extérieur des racines et positif  entre les racines. On peut construire le tableau de variations suivant : Soit f  la fonction définie sur ℝ par  f 